Derive e determine o domínio de
em cada um dos itens abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para derivar a função
e determinar o domínio dela. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivação de funções que são produto de duas outras funções. Além disso, vamos precisar saber onde essa função está definida, ou seja, quais valores de
podemos usar sem problemas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Sabemos que a função logarítmica
só está definida para
. Já a função exponencial
está definida para todos os números reais. Portanto, o domínio da função
será onde ambas as funções estão definidas simultaneamente, ou seja, onde
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função
. Para isso, vamos usar a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. A Regra do Produto diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas de
e
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Agora aplicamos a Regra do Produto:
Podemos fatorar o termo comum
:
Resposta
A derivada da função é
e o domínio de
é
.