Derive e determine o domínio de f em cada um dos itens abaixo:
© f(x) = ln(x) e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para derivar a função e determinar o domínio dela. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivação de funções que são produto de duas outras funções. Além disso, vamos precisar saber onde essa função está definida, ou seja, quais valores de podemos usar sem problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Sabemos que a função logarítmica só está definida para . Já a função exponencial está definida para todos os números reais. Portanto, o domínio da função será onde ambas as funções estão definidas simultaneamente, ou seja, onde .

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, vamos usar a Regra do Produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. A Regra do Produto diz que se temos uma função , sua derivada é .
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas de e :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Agora aplicamos a Regra do Produto:
Podemos fatorar o termo comum :

Resposta

A derivada da função é e o domínio de é .

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