1. Calcule as integrais definidas e indefinidas abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla definida
integral0^2 !dx integral-1^1 l[x^2 + 0,5,yr] ,dy
Isso cai dentro do conteúdo de integrais duplas e uso do teorema de Fubini: podemos transformar a integral dupla numa iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Aplique o teorema de Fubini e separe a integral em duas partes, já que o integrando é soma de funções de x e de y:
integral-1^1 (x^2 + 0,5,y) ,dy = integral-1^1 x^2 ,dy + integral-1^1 0,5,y ,dy
Na primeira parte x² é constante em relação a y, então
integral-1^1 x^2 ,dy = x^2 l[yr]-1^1 = x^2(1 - (-1)) = 2x^2
Na segunda parte temos uma função ímpar integrando num intervalo simétrico, logo
integral-1^1 0,5,y ,dy = 0,5 cdot y^22 l|-1^1 = 0,25(1 - 1) = 0

Passo 3

Logo a integral interna em y reduz-se a
integral-1^1 (x^2 + 0,5,y) ,dy = 2x^2 + 0 = 2x^2
Agora escrevemos a integral em x:
integral0^2 2x^2 ,dx

Passo 4

Basta calcular a integral de 2x² em x:
integral0^2 2x^2 ,dx = 2 cdot x^33 l|0^2 = 2cdot 83 - 0 = 163

Resposta

16/3

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