calcule as integrais definidas e indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas que usaremos: a expressão no denominador é um polinômio quadrático em
. A integral é indefinida (procura-se uma primitiva) e vamos assumir que trabalhamos no domínio onde
para que a raiz seja real. Nada mais é pedido além de entregar uma primitiva (mais constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no polinômio do denominador, porque isso costuma facilitar substituições trigonométricas. Vou mostrar como completar o quadrado passo a passo.
Escrevendo
Agora complete o quadrado dentro do parêntese:
Portanto
Resultado prático: o denominador fica
, ou seja a integral é equivalente a
Passo 3
Fazer a substituição de translação simples para simplificar a escrita: seja
Com isso a integral vira
Agora o integrando tem a forma padrão
com
. Essa forma sugere uma substituição trigonométrica.
Passo 4
Explicando a substituição trigonométrica: quando aparece uma expressão
sob raiz, a substituição clássica é
porque então
, que fica muito simples. Aqui
, então tomamos
Substituindo na integral:
Simplificando o denominador:
Logo o integrando fica
Observação rápida:
é a derivada de
, então essa integral é direta.
Passo 5
Integrando:
Agora voltamos às variáveis originais: de
temos
e
Então
Substituindo em
obtemos a primitiva em
:
Passo 6
Retornando à variável
: lembrando que
e que
, a primitiva final em
é
ou, de forma equivalente,
Passo 7
Verificação rápida (útil para prova): derivando a expressão encontrada dá exatamente o integrando original. Diferenciando
obtém-se
que é igual a
porque
. Então a primitiva está correta. Força aí — você já tem a anti-derivada e a checagem para a prova!