calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int \frac{1}{\left(5-4 x-x^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\left(5-4x-x^{2}\right)^{3/2}}\,dx.
Informações dadas que usaremos: a expressão no denominador é um polinômio quadrático em x. A integral é indefinida (procura-se uma primitiva) e vamos assumir que trabalhamos no domínio onde \left(5-4x-x^{2}\right)>0 para que a raiz seja real. Nada mais é pedido além de entregar uma primitiva (mais constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no polinômio do denominador, porque isso costuma facilitar substituições trigonométricas. Vou mostrar como completar o quadrado passo a passo.
Escrevendo
5-4x-x^{2} = -(x^{2}+4x-5).
Agora complete o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}+4x-5 = \bigl(x^{2}+4x+4\bigr)-9 = (x+2)^{2}-9.
Portanto
5-4x-x^{2} = -\bigl((x+2)^{2}-9\bigr)=9-(x+2)^{2}.
Resultado prático: o denominador fica \left(9-(x+2)^{2}\right)^{3/2}, ou seja a integral é equivalente a
\int \frac{1}{\left(9-(x+2)^{2}\right)^{3/2}}\,dx.

Passo 3

Fazer a substituição de translação simples para simplificar a escrita: seja
u = x+2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Com isso a integral vira
\int \frac{1}{\left(9-u^{2}\right)^{3/2}}\,du.
Agora o integrando tem a forma padrão \dfrac{1}{(a^{2}-u^{2})^{3/2}} com a=3. Essa forma sugere uma substituição trigonométrica.

Passo 4

Explicando a substituição trigonométrica: quando aparece uma expressão a^{2}-u^{2} sob raiz, a substituição clássica é
u = a\sin\theta,
porque então a^{2}-u^{2}=a^{2}(1-\sin^{2}\theta)=a^{2}\cos^{2}\theta, que fica muito simples. Aqui a=3, então tomamos
u = 3\sin\theta \quad\Rightarrow\quad du = 3\cos\theta\,d\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{\left(9-u^{2}\right)^{3/2}}\,du = \int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{\bigl(9-9\sin^{2}\theta\bigr)^{3/2}}.
Simplificando o denominador:
9-9\sin^{2}\theta = 9\cos^{2}\theta, \qquad \bigl(9\cos^{2}\theta\bigr)^{3/2} = 9^{3/2}\cos^{3}\theta = 27\cos^{3}\theta.
Logo o integrando fica
\int \frac{3\cos\theta}{27\cos^{3}\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{9}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{9}\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Observação rápida: \operatorname{sec}^{2}\theta é a derivada de \tan\theta, então essa integral é direta.

Passo 5

Integrando:
\frac{1}{9}\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{9}\tan\theta + C.
Agora voltamos às variáveis originais: de u=3\sin\theta temos \sin\theta = \dfrac{u}{3} e
\cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \frac{\sqrt{9-u^{2}}}{3}.
Então
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{u/3}{\sqrt{9-u^{2}}/3} = \frac{u}{\sqrt{9-u^{2}}}.
Substituindo em \dfrac{1}{9}\tan\theta obtemos a primitiva em u:
\frac{u}{9\sqrt{9-u^{2}}}+C.

Passo 6

Retornando à variável x: lembrando que u=x+2 e que \sqrt{9-u^{2}}=\sqrt{9-(x+2)^{2}}=\sqrt{5-4x-x^{2}}, a primitiva final em x é
\frac{x+2}{9\sqrt{9-(x+2)^{2}}}+C
ou, de forma equivalente,
\frac{x+2}{9\sqrt{5-4x-x^{2}}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil para prova): derivando a expressão encontrada dá exatamente o integrando original. Diferenciando
F(x)=\frac{x+2}{9\sqrt{9-(x+2)^{2}}},
obtém-se
F'(x)=\frac{1}{\bigl(9-(x+2)^{2}\bigr)^{3/2}},
que é igual a \dfrac{1}{\left(5-4x-x^{2}\right)^{3/2}} porque 9-(x+2)^{2}=5-4x-x^{2}. Então a primitiva está correta. Força aí — você já tem a anti-derivada e a checagem para a prova!

Resposta

\frac{x+2}{9\sqrt{5-4x-x^{2}}}+C

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