calcule as integrais definidas e indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede para calcular a(s) integral(is) de
- Não foram dados limites, então devemos obter a primitiva (integral indefinida). Também é natural comentar como calcular integrais definidas quando os limites respeitam o domínio.
- Informação importante sobre o domínio: para que a raiz seja real precisamos de
Portanto a primitiva real válida será considerada no intervalo
.
Passo 2
Primeira transformação útil: fazer a substituição
.
- Se
então , ou seja - Substituindo na integral:
Agora temos que calcular
, com
e, devido ao domínio,
.
Passo 3
Escolha de substituição para integrar
.
- Uma substituição trigonométrica conveniente é
. Ela funciona bem quando temos com . - Com
temos: e - Substituindo na integral:
Agora simplificamos a expressão passo a passo.
Passo 4
Simplificação da integral em
e integração.
- Cancelando e multiplicando obtemos
- Portanto a integral vira
- Integramos cada termo:
- Logo obtemos, em termos de
,
Passo 5
Voltar de
para
e depois para
.
- Lembre que
, então - Também
(ou equivalentemente ). - Substituindo:
- Lembrando
, concluímos que uma primitiva é
válida para
.
Passo 6
Verificação rápida (derivando para checar):
- Se definirmos
então . - Derivando
dá
- Substituindo
e obtém-se , como desejado.
Passo 7
Comentário sobre integrais definidas.
- Se desejar uma integral definida
com , basta usar a primitiva acima e calcular . - Em particular, para
temos e portanto . Assim