calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int \sqrt{e^{2 x}-9}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede para calcular a(s) integral(is) de \displaystyle \int \sqrt{e^{2x}-9}\,dx.
  • Não foram dados limites, então devemos obter a primitiva (integral indefinida). Também é natural comentar como calcular integrais definidas quando os limites respeitam o domínio.
  • Informação importante sobre o domínio: para que a raiz seja real precisamos de
e^{2x}-9 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\ge 3 \quad\Longrightarrow\quad x \ge \ln 3.
Portanto a primitiva real válida será considerada no intervalo x\ge \ln 3.

Passo 2

Primeira transformação útil: fazer a substituição u=e^{x}.
  • Se u=e^{x} então du=e^{x}\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{u}.
  • Substituindo na integral:
\int \sqrt{e^{2x}-9}\,dx = \int \sqrt{u^{2}-9}\,\frac{du}{u}.
Agora temos que calcular \displaystyle \int \frac{\sqrt{u^{2}-9}}{u}\,du, com u>0 e, devido ao domínio, u\ge 3.

Passo 3

Escolha de substituição para integrar \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{u^{2}-9}}{u}\,du.
  • Uma substituição trigonométrica conveniente é u=3\operatorname{sec}\theta. Ela funciona bem quando temos \sqrt{u^{2}-a^{2}} com u\ge a.
  • Com u=3\operatorname{sec}\theta temos: \sqrt{u^{2}-9}=\sqrt{9\operatorname{sec}^{2}\theta-9}=3\tan\theta,e du = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{\sqrt{u^{2}-9}}{u}\,du = \int \frac{3\tan\theta}{3\operatorname{sec}\theta}\cdot\bigl(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr).
Agora simplificamos a expressão passo a passo.

Passo 4

Simplificação da integral em \theta e integração.
  • Cancelando e multiplicando obtemos
\frac{3\tan\theta}{3\operatorname{sec}\theta}\cdot(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta) =3\tan^{2}\theta.
  • Portanto a integral vira
\int 3\tan^{2}\theta\,d\theta = 3\int (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta =3\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta - 3\int 1\,d\theta.
  • Integramos cada termo: 3\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = 3\tan\theta, \qquad 3\int 1\,d\theta = 3\theta.
  • Logo obtemos, em termos de \theta,
\int \frac{\sqrt{u^{2}-9}}{u}\,du = 3\tan\theta - 3\theta + C.

Passo 5

Voltar de \theta para u e depois para x.
  • Lembre que u=3\operatorname{sec}\theta, então \operatorname{sec}\theta = \frac{u}{3},\qquad \tan\theta=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\sqrt{\frac{u^{2}}{9}-1}=\frac{\sqrt{u^{2}-9}}{3}.
  • Também \theta=\arctan\!\Bigl(\dfrac{\sqrt{u^{2}-9}}{3}\Bigr) (ou equivalentemente \theta=\operatorname{arcsec}\!\bigl(\frac{u}{3}\bigr)).
  • Substituindo:
3\tan\theta - 3\theta = 3\cdot\frac{\sqrt{u^{2}-9}}{3} - 3\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{u^{2}-9}}{3}\Bigr) = \sqrt{u^{2}-9} - 3\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{u^{2}-9}}{3}\Bigr).
  • Lembrando u=e^{x}, concluímos que uma primitiva é
F(x)=\sqrt{e^{2x}-9}\;-\;3\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{e^{2x}-9}}{3}\Bigr)+C,
válida para x\ge \ln 3.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para checar):
  • Se definirmos s(x)=\sqrt{e^{2x}-9} então s'(x)=\dfrac{e^{2x}}{s(x)}.
  • Derivando F(x)=s(x)-3\arctan\!\bigl(\tfrac{s(x)}{3}\bigr)
F'(x)=s'(x)-3\cdot\frac{1}{1+(s/3)^{2}}\cdot\frac{1}{3}s'(x) = s'(x)\Bigl(1-\frac{9}{s^{2}+9}\Bigr) = s'(x)\frac{s^{2}}{s^{2}+9}.
  • Substituindo s'(x)=\dfrac{e^{2x}}{s} e s^{2}=e^{2x}-9 obtém-se F'(x)=s(x)=\sqrt{e^{2x}-9}, como desejado.

Passo 7

Comentário sobre integrais definidas.
  • Se desejar uma integral definida \displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{e^{2x}-9}\,dx com a\ge \ln 3, basta usar a primitiva F(x) acima e calcular F(b)-F(a).
  • Em particular, para a=\ln 3 temos e^{2a}-9=0 e portanto F(\ln 3)=0-3\arctan(0)=0. Assim
\int_{\ln 3}^{b}\sqrt{e^{2x}-9}\,dx = F(b).

Resposta

\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}-9}\,dx = \sqrt{e^{2x}-9}\;-\;3\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{e^{2x}-9}}{3}\Bigr)+C
\displaystyle \text{Para }a\ge \ln 3:\quad \int_{a}^{b}\sqrt{e^{2x}-9}\,dx = \Biggl[\sqrt{e^{2x}-9}\;-\;3\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{e^{2x}-9}}{3}\Bigr)\Biggr]_{x=a}^{x=b}

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