calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo das integrais indefinida e definida da função dada. As informações são:
  • A integral indefinida a encontrar é \int \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx.
  • A integral definida a avaliar é \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx.
    Vou apresentar os passos detalhados para achar a primitiva (indefinida) e então usar essa primitiva para calcular a integral definida.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando e escolha da substituição (explicação didática).
  • A presença de \sqrt{16-x^{2}} sugere a substituição trigonométrica padrão para termos do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}: usar x = a\sin\theta. Aqui a=4, então faz sentido usar x=4\sin\theta.
  • Justificativa: ao colocar x=4\sin\theta temos \sqrt{16-x^{2}}=\sqrt{16-16\sin^{2}\theta}=4\cos\theta, o que elimina a raiz e deixa funções trigonométricas mais fáceis de integrar.
  • Atenção aos intervalos: para x\in[0,2] temos \sin\theta = x/4 \in [0,1/2], logo \theta\in[0,\arcsin(1/2)]=[0,\pi/6]. Isso será útil quando avaliarmos a integral definida.

Passo 3

Aplicando a substituição x=4\sin\theta.
  • Calcule dx: \,dx = 4\cos\theta\,d\theta.
  • Calcule x^{3}: \,x^{3}=(4\sin\theta)^{3}=64\sin^{3}\theta.
  • Calcule a raiz: \sqrt{16-x^{2}}=4\cos\theta.
    Substituindo tudo na integral indefinida:
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = \int \frac{64\sin^{3}\theta}{4\cos\theta}\cdot(4\cos\theta)\,d\theta.
Note que os fatores 4\cos\theta no numerador/denominador e o dx simplificam: o \cos\theta cancela e sobra
\int 64\sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Como integrar \displaystyle \int 64\sin^{3}\theta\,d\theta.
  • Use a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta). Isso é útil porque a derivada de \cos\theta é -\sin\theta, permitindo substituição direta.
    Reescrevendo:
\int 64\sin^{3}\theta\,d\theta =64\int \sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta.
  • Faça a substituição u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta, ou \sin\theta\,d\theta=-du.
    A integral fica
64\int \sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta = -64\int (1-u^{2})\,du.
Integre em u:
-64\int (1-u^{2})\,du = -64\left(u-\frac{u^{3}}{3}\right)+C.
Volte para \theta:
-64\cos\theta+\frac{64}{3}\cos^{3}\theta + C.

Passo 5

Voltar para a variável x expressando \cos\theta em termos de x.
  • Pela substituição x=4\sin\theta temos \sin\theta=x/4.
  • Assim \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-(x/4)^{2}}=\sqrt{\frac{16-x^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}.
  • Então \cos^{3}\theta=\left(\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}\right)^{3}=\frac{(16-x^{2})^{3/2}}{64}.
    Substituindo em -64\cos\theta+\dfrac{64}{3}\cos^{3}\theta + C:
-64\cdot\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} + \frac{64}{3}\cdot\frac{(16-x^{2})^{3/2}}{64} + C.
Simplificando os coeficientes,
-16\sqrt{16-x^{2}} + \frac{1}{3}(16-x^{2})^{3/2} + C.
Portanto essa é uma primitiva da função.

Passo 6

Conclusão sobre a integral indefinida.
  • A primitiva (familia de antiderivadas) é
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = -16\sqrt{16-x^{2}} + \frac{1}{3}(16-x^{2})^{3/2} + C.
Explicação rápida de consistência: derivando essa expressão recupera-se \dfrac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}} (pode ser verificado com a regra da cadeia).

Passo 7

Cálculo da integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx usando a primitiva encontrada.
  • Seja F(x) = -16\sqrt{16-x^{2}} + \dfrac{1}{3}(16-x^{2})^{3/2}.
  • Avalie F em x=2 e x=0.
    • Para x=2: \sqrt{16-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. E (16-2^{2})^{3/2}=12^{3/2}=24\sqrt{3}.
      Então F(2) = -16\cdot 2\sqrt{3} + \frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{3} = -32\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = -24\sqrt{3}.
    • Para x=0: \sqrt{16-0}=4. E (16-0)^{3/2}=64.
      Então F(0) = -16\cdot 4 + \frac{1}{3}\cdot 64 = -64 + \frac{64}{3} = -\frac{128}{3}.
  • Portanto a integral definida é
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = F(2)-F(0) = -24\sqrt{3} -\left(-\frac{128}{3}\right) = \frac{128}{3} - 24\sqrt{3}.

Passo 8

Verificação rápida alternativa (opcional, para reforçar a confiança).
  • Se preferir, convertendo diretamente para \theta com x=4\sin\theta obtivemos a integral \int_{0}^{\pi/6}64\sin^{3}\theta\,d\theta. Integrando e avaliando entre 0 e \pi/6 leva ao mesmo resultado \dfrac{128}{3}-24\sqrt{3}. Isso confirma a consistência do cálculo.

Resposta

\displaystyle \int \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = -16\sqrt{16-x^{2}} + \frac{1}{3}(16-x^{2})^{3/2} + C\n
\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx = \frac{128}{3} - 24\sqrt{3}

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