calcule as integrais definidas e indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo das integrais indefinida e definida da função dada. As informações são:
- A integral indefinida a encontrar é
. - A integral definida a avaliar é
.
Vou apresentar os passos detalhados para achar a primitiva (indefinida) e então usar essa primitiva para calcular a integral definida.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando e escolha da substituição (explicação didática).
- A presença de
sugere a substituição trigonométrica padrão para termos do tipo : usar . Aqui , então faz sentido usar . - Justificativa: ao colocar
temos , o que elimina a raiz e deixa funções trigonométricas mais fáceis de integrar. - Atenção aos intervalos: para
temos , logo . Isso será útil quando avaliarmos a integral definida.
Passo 3
Aplicando a substituição
.
- Calcule
: . - Calcule
: . - Calcule a raiz:
.
Substituindo tudo na integral indefinida:
Note que os fatores
no numerador/denominador e o
simplificam: o
cancela e sobra
Passo 4
Como integrar
.
- Use a identidade
. Isso é útil porque a derivada de é , permitindo substituição direta.
Reescrevendo:
- Faça a substituição
. Então , ou .
A integral fica
Integre em
:
Volte para
:
Passo 5
Voltar para a variável
expressando
em termos de
.
- Pela substituição
temos . - Assim
. - Então
.
Substituindo em:
Simplificando os coeficientes,
Portanto essa é uma primitiva da função.
Passo 6
Conclusão sobre a integral indefinida.
- A primitiva (familia de antiderivadas) é
Explicação rápida de consistência: derivando essa expressão recupera-se
(pode ser verificado com a regra da cadeia).
Passo 7
Cálculo da integral definida
usando a primitiva encontrada.
- Seja
. - Avalie
em e . - Para
: . E .
Então - Para
: . E .
Então
- Para
- Portanto a integral definida é
Passo 8
Verificação rápida alternativa (opcional, para reforçar a confiança).
- Se preferir, convertendo diretamente para
com obtivemos a integral . Integrando e avaliando entre e leva ao mesmo resultado . Isso confirma a consistência do cálculo.