Calcule as integrais indefinidas:
\int \cos 4 x \cos 3 x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos 4x \cos 3x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas \cos 4x e \cos 3x. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, que será uma expressão em termos de x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Um truque padrão para integrar produtos de cossenos é usar a identidade produto-para-soma. Vou lembrar essa identidade e derivá-la rapidamente a partir das fórmulas de soma de ângulos:
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B
Somando as duas igualdades obtemos
\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B.
Portanto
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).

Passo 3

Aplicando a identidade com A=4x e B=3x, temos
\cos 4x \cos 3x = \tfrac{1}{2}\big(\cos(4x+3x)+\cos(4x-3x)\big) = \tfrac{1}{2}\big(\cos 7x + \cos x\big).

Passo 4

Substituindo na integral e tirando o fator constante para fora:
\int \cos 4x \cos 3x \, dx = \int \tfrac{1}{2}\big(\cos 7x + \cos x\big)\,dx = \tfrac{1}{2}\left(\int \cos 7x\,dx + \int \cos x\,dx\right).

Passo 5

Agora usamos a fórmula básica de antiderivada de cosseno: para k\neq 0,
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C,
pois diferenciando \sin(kx) obtém-se k\cos(kx). Aplicando para k=7 e k=1:
\int \cos 7x\,dx = \frac{1}{7}\sin 7x + C_1, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C_2.

Passo 6

Voltando para a expressão com o fator \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{7}\sin 7x + \sin x\right) + C = \frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{2}\sin x + C,
onde C é a constante de integração que engloba C_1 e C_2.

Passo 7

Checagem rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{14}\sin 7x + \frac{1}{2}\sin x\right) = \frac{1}{14}\cdot 7\cos 7x + \frac{1}{2}\cos x = \tfrac{1}{2}\big(\cos 7x + \cos x\big) = \cos 4x \cos 3x,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin 7x}{14} + \frac{\sin x}{2} + C

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