Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, que será uma expressão em termos de
mais uma constante de integração
.
Passo 2
Um truque padrão para integrar produtos de cossenos é usar a identidade produto-para-soma. Vou lembrar essa identidade e derivá-la rapidamente a partir das fórmulas de soma de ângulos:
Somando as duas igualdades obtemos
Portanto
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
, temos
Passo 4
Substituindo na integral e tirando o fator constante para fora:
Passo 5
Agora usamos a fórmula básica de antiderivada de cosseno: para
,
pois diferenciando
obtém-se
. Aplicando para
e
:
Passo 6
Voltando para a expressão com o fator
:
onde
é a constante de integração que engloba
e
.
Passo 7
Checagem rápida (útil na prova): derivando a resposta obtemos
confirmando que a primitiva está correta.