Calcule as integrais definidas.
\int_{\ln 4}^{\ln 7} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-3\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\ln 4}^{\ln 7} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-3\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{e^{x}}{\left(e^{x}-3\right)^{2}},\qquad \text{limites: }x=\ln 4\\ \text{até}\\ x=\ln 7.é
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia inicial (mudança de variável): observar que a expressão e^{x} aparece no numerador e também dentro de e^{x}-3 no denominador. Isso sugere a substituição
u = e^{x}-3.
Vou explicar por que essa substituição funciona: diferenciar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia dá
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\big(e^{x}-3\big)=e^{x}.
Isto significa que
du = e^{x}\,dx.
Portanto o diferencial e^{x}\,dx do integrando original é exatamente du, o que simplifica muito a integral. Também preciso transformar os limites de integração: quando x=\ln 4 temos e^{x}=4 e, portanto,
u = 4-3 = 1.
Quando x=\ln 7 temos e^{x}=7 e, portanto,
u = 7-3 = 4.

Passo 3

Fazer a mudança de variável na integral original. Substituindo u=e^{x}-3 e du=e^{x}\,dx obtemos
\int_{\ln 4}^{\ln 7} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-3\right)^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=4} \frac{1}{u^{2}}\,du.
Aqui expliquei: o numerador e^{x}\,dx virou du e o denominador \big(e^{x}-3\big)^{2} virou u^{2}; os novos limites são 1 e 4.

Passo 4

Calcular a integral em u. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso temos u^{-2} (pois \frac{1}{u^{2}}=u^{-2}), então com n=-2 obtemos
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u}+C.
Agora aplicamos os limites de 1 a 4:
\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}}\,du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{4} = \left(-\frac{1}{4}\right)-\left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{4}+1.

Passo 5

Fazer a conta final com calma: 1-\frac{1}{4}=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}. Portanto o valor da integral é \frac{3}{4}. Parabéns — a chave foi reconhecer a substituição que transforma exatamente e^{x}\,dx em du, o que simplifica o problema para uma integral de potência simples.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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