Calcule as integrais definidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Estratégia inicial (mudança de variável): observar que a expressão
aparece no numerador e também dentro de
no denominador. Isso sugere a substituição
Vou explicar por que essa substituição funciona: diferenciar ambos os lados em relação a
usando a regra da cadeia dá
Isto significa que
Portanto o diferencial
do integrando original é exatamente
, o que simplifica muito a integral. Também preciso transformar os limites de integração: quando
temos
e, portanto,
Quando
temos
e, portanto,
Passo 3
Fazer a mudança de variável na integral original. Substituindo
e
obtemos
Aqui expliquei: o numerador
virou
e o denominador
virou
; os novos limites são
e
.
Passo 4
Calcular a integral em
. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
No nosso caso temos
(pois
), então com
obtemos
Agora aplicamos os limites de
a
:
Passo 5
Fazer a conta final com calma:
. Portanto o valor da integral é
. Parabéns — a chave foi reconhecer a substituição que transforma exatamente
em
, o que simplifica o problema para uma integral de potência simples.