Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{\pi}\left(\sin x+\frac{5}{\pi}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi}\left(\sin x+\frac{5}{\pi}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e \pi.
  • A função a integrar é \sin x+\dfrac{5}{\pi}, soma de duas parcelas: \sin x (uma função trigonométrica) e a constante \dfrac{5}{\pi}.

Passo 2

Regra que vou usar primeiro (linearidade da integral): a integral de soma é a soma das integrais e constantes podem ser fatoradas. Ou seja,
\int_{0}^{\pi}\left(\sin x+\frac{5}{\pi}\right)\,dx = \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx + \int_{0}^{\pi}\frac{5}{\pi}\,dx.
Isto simplifica o problema em duas integrais mais simples.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx.
Conceito usado: se F é uma antiderivada (primitiva) de f, então o teorema fundamental do cálculo diz que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Para f(x)=\sin x, uma antiderivada é F(x)=-\cos x, pois \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.
Aplicando o teorema:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr).
Agora avalio os cossenos: \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1. Substituindo:
-\cos(\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr) = -(-1) - \bigl(-1\bigr) = 1 - (-1) = 2.
Portanto,
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = 2.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{5}{\pi}\,dx.
Conceito usado: a integral de uma constante c no intervalo [a,b] é c(b-a), porque a antiderivada de c é cx.
Aqui c=\dfrac{5}{\pi}, a=0, b=\pi. Logo
\int_{0}^{\pi}\frac{5}{\pi}\,dx = \frac{5}{\pi}\cdot(\pi-0) = \frac{5}{\pi}\cdot\pi = 5.

Passo 5

Somar os resultados das duas integrais (pela linearidade do Passo 2):
\int_{0}^{\pi}\left(\sin x+\frac{5}{\pi}\right)\,dx = \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx + \int_{0}^{\pi}\frac{5}{\pi}\,dx = 2 + 5 = 7.

Passo 6

Checagem rápida por intuição: \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2 é o valor conhecido da área positiva do seno entre 0 e \pi. A constante média \dfrac{5}{\pi} integrada em um intervalo de comprimento \pi dá exatamente 5. Faz sentido que o total seja 7. Vai dar tudo certo na prova — respira!

Resposta

7

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