Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
, soma de duas parcelas: (uma função trigonométrica) e a constante .
Passo 2
Regra que vou usar primeiro (linearidade da integral): a integral de soma é a soma das integrais e constantes podem ser fatoradas. Ou seja,
Isto simplifica o problema em duas integrais mais simples.
Passo 3
Calcular
.
Conceito usado: se
é uma antiderivada (primitiva) de
, então o teorema fundamental do cálculo diz que
Para
, uma antiderivada é
, pois
.
Aplicando o teorema:
Agora avalio os cossenos:
e
. Substituindo:
Portanto,
Passo 4
Calcular
.
Conceito usado: a integral de uma constante
no intervalo
é
, porque a antiderivada de
é
.
Aqui
,
,
. Logo
Passo 5
Somar os resultados das duas integrais (pela linearidade do Passo 2):
Passo 6
Checagem rápida por intuição:
é o valor conhecido da área positiva do seno entre
e
. A constante média
integrada em um intervalo de comprimento
dá exatamente
. Faz sentido que o total seja
. Vai dar tudo certo na prova — respira!