Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida no intervalo de
a
da função dada. Informações fornecidas:
- Integrando:
. - Intervalo de integração:
.
Pergunta: calcular
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de integrais que facilitam o cálculo. Regras que usarei (explicando cada uma):
- Linearidade: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja, para funções
e ,
- Fator constante: uma constante pode sair da integral. Para constante
,
Aplicando essas regras ao integrando, separamos a integral em três partes:
Passo 3
Agora preciso das primitivas (antiderivadas) das funções simples que apareceram. A regra básica é a regra da potência:
- Regra da potência: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente da potência e
a variável de integração.
Aplicando para cada termo:
- Para
: - Para
: puxamos o para fora e usamos a regra com :
- Para a constante
: regra para constante é . Então
Passo 4
Juntando as primitivas (sem os
, pois vamos avaliar a integral definida) obtemos uma primitiva
da função inteira:
Passo 5
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é primitiva de
, então
Aqui
e
. Então calculamos
e
.
Calcule
:
Colocando em denominador comum
:
Somando:
Calcule
:
Portanto a integral definida vale