Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+5 x-2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida no intervalo de 0 a 1 da função dada. Informações fornecidas:
  • Integrando: x^{2}+5x-2.
  • Intervalo de integração: [0,1].
    Pergunta: calcular
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+5x-2\right)\,dx.

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de integrais que facilitam o cálculo. Regras que usarei (explicando cada uma):
  • Linearidade: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja, para funções f e g,
\int (f+g)=\int f+\int g.
  • Fator constante: uma constante pode sair da integral. Para constante c,
\int c\cdot f = c\int f.
Aplicando essas regras ao integrando, separamos a integral em três partes:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+5x-2\right)\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx + \int_{0}^{1}5x\,dx - \int_{0}^{1}2\,dx.

Passo 3

Agora preciso das primitivas (antiderivadas) das funções simples que apareceram. A regra básica é a regra da potência:
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente da potência e x a variável de integração.
Aplicando para cada termo:
  • Para x^{2}: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.
  • Para 5x: puxamos o 5 para fora e usamos a regra com n=1:
\int 5x\,dx = 5\int x\,dx = 5\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{5}{2}x^{2}+C.
  • Para a constante 2: regra para constante a é \int a\,dx = a x + C. Então
\int 2\,dx = 2x + C.

Passo 4

Juntando as primitivas (sem os +C, pois vamos avaliar a integral definida) obtemos uma primitiva F(x) da função inteira:
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{5}{2}x^{2}-2x.

Passo 5

Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a=0 e b=1. Então calculamos F(1) e F(0).
Calcule F(1):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+\frac{5}{2}\cdot 1^{2}-2\cdot 1 =\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-2.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{1}{3}=\frac{2}{6},\qquad \frac{5}{2}=\frac{15}{6},\qquad 2=\frac{12}{6}.
Somando:
F(1)=\frac{2}{6}+\frac{15}{6}-\frac{12}{6}=\frac{5}{6}.
Calcule F(0):
F(0)=\frac{0^{3}}{3}+\frac{5}{2}\cdot 0^{2}-2\cdot 0=0.
Portanto a integral definida vale
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+5x-2\right)\,dx = F(1)-F(0)=\frac{5}{6}-0=\frac{5}{6}.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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