Sejam as curvas \gamma_{1} e \gamma_{2} descritas pelos vetores posição \overrightarrow{r_{1}} e \overrightarrow{r_{2}}
\begin{aligned} & \overrightarrow{r_{1}}(t)=t^{2} \vec{i}+t \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \\\ & \overrightarrow{r_{2}}(t)=(t-1) \vec{i}+\frac{1}{4} t^{2} \vec{j}+(5-t) \vec{k} \end{aligned}
onde t \in \mathbb{R}. Mostre que essas curvas se encontram em um único ponto. Determine o ângulo entre os vetores tangentes dessas curvas nesse ponto.
Resp.: As curvas se encontram no ponto de coordenadas (1,1,3). O ângulo entre os vetores tangentes nesse ponto vale \cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{6}{43}}\right) \approx 112^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em \mathbb{R}^3,
\overrightarrow{r_{1}}(t)=t^{2}\,\vec{i}+t\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k}, \quad \overrightarrow{r_{2}}(t)=(t-1)\,\vec{i}+\tfrac{1}{4}t^{2}\,\vec{j}+(5-t)\,\vec{k},
e pede: (i) mostrar que elas se cruzam num único ponto, (ii) achar o ângulo entre as tangentes nesse ponto.
Conteúdo: interseção de curvas paramétricas e cálculo de ângulo via produto escalar.

Passo 2

Para achar o ponto de encontro, procuramos t_{1},t_{2}\) tais que \[\overrightarrow{r_{1}}(t_{1})=\overrightarrow{r_{2}}(t_{2}),
ou seja, o sistema
\begin{cases} t_{1}^{2}=t_{2}-1,\\\ t_{1}=\tfrac{1}{4}t_{2}^{2},\\\\ 3t_{1}^{3}=5-t_{2}. \end{cases}
Da primeira equação vem t_{2}=t_{1}^{2}+1\]. Substituindo na segunda: \[t_{1}=\tfrac{1}{4}(t_{1}^{2}+1)^{2} \;\Longrightarrow\; 4t_{1}=(t_{1}^{2}+1)^{2} \;\Longrightarrow\; t_{1}^{4}+2t_{1}^{2}+1-4t_{1}=0.\] Testando \(t_{1}=1 vemos que é raiz; o polinômio restante não tem outras raízes reais. Logo t_{1}=1 e t_{2}=1^{2}+1=2.
Então o ponto comum é
\overrightarrow{r_{1}}(1)=(1,1,3).

Passo 3

Agora as tangentes são
\overrightarrow{r_{1}}'(t)=(2t)\,\vec{i}+\vec{j}+(9t^{2})\,\vec{k}, \quad \overrightarrow{r_{2}}'(t)=\vec{i}+\tfrac{t}{2}\,\vec{j}-\vec{k}.
Avaliando em t_{1}=1 e t_{2}=2:
\overrightarrow{v}=\overrightarrow{r_{1}}'(1)=2\,\vec{i}+\vec{j}+9\,\vec{k}, \quad \overrightarrow{w}=\overrightarrow{r_{2}}'(2)=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}.

Passo 4

O ângulo \theta entre \overrightarrow{v} e \overrightarrow{w} satisfaz
\cos\theta =\frac{\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}}{\|\overrightarrow{v}\|\;\|\overrightarrow{w}\|}.
Calculamos
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} =2\cdot1+1\cdot1+9\cdot(-1)=2+1-9=-6,
\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+9^{2}}=\sqrt{86}, \quad \|\overrightarrow{w}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}.
Portanto
\cos\theta =\frac{-6}{\sqrt{86}\,\sqrt{3}} =-\sqrt{\frac{6}{43}} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\sqrt{\tfrac{6}{43}}\bigr)\approx112^{\circ}.

Resposta

As curvas se encontram em (1,1,3).
O ângulo entre as tangentes nesse ponto é \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\sqrt{\tfrac{6}{43}}\bigr)\approx112^{\circ}.

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