onde t \in \mathbb{R}. Mostre que essas curvas se encontram em um único ponto. Determine o ângulo entre os vetores tangentes dessas curvas nesse ponto.
Resp.: As curvas se encontram no ponto de coordenadas (1,1,3). O ângulo entre os vetores tangentes nesse ponto vale \cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{6}{43}}\right) \approx 112^{\circ}.
e pede: (i) mostrar que elas se cruzam num único ponto, (ii) achar o ângulo entre as tangentes nesse ponto.
Conteúdo: interseção de curvas paramétricas e cálculo de ângulo via produto escalar.
Passo 2
Para achar o ponto de encontro, procuramos t_{1},t_{2}\) tais que
\[\overrightarrow{r_{1}}(t_{1})=\overrightarrow{r_{2}}(t_{2}),
Da primeira equação vem t_{2}=t_{1}^{2}+1\]. Substituindo na segunda:
\[t_{1}=\tfrac{1}{4}(t_{1}^{2}+1)^{2} \;\Longrightarrow\; 4t_{1}=(t_{1}^{2}+1)^{2} \;\Longrightarrow\; t_{1}^{4}+2t_{1}^{2}+1-4t_{1}=0.\]
Testando \(t_{1}=1 vemos que é raiz; o polinômio restante não tem outras raízes reais. Logo t_{1}=1 e t_{2}=1^{2}+1=2.
Então o ponto comum é
As curvas se encontram em (1,1,3).
O ângulo entre as tangentes nesse ponto é \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\sqrt{\tfrac{6}{43}}\bigr)\approx112^{\circ}.