Calcule as integrais definidas
\int_{0}^{2}\left\|\cos \left(t^{2}\right) \vec{i}+t \vec{j}+\sin \left(t^{2}\right) \vec{k}\right\|^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2}\bigl\|\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec{i}+t\,\vec{j}+\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec{k}\bigr\|^{2}\,dt.
O conteúdo é norma de vetor em \mathbb{R}^3 e propriedades de integrais definidas.

Passo 2

Em \mathbb{R}^3, para um vetor \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) vale
\|\vec{v}\|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.
Aqui v_{1}=\cos(t^{2}), v_{2}=t e v_{3}=\sin(t^{2}). Logo,
\bigl\|\cos(t^{2})\,\vec{i}+t\,\vec{j}+\sin(t^{2})\,\vec{k}\bigr\|^{2} =\cos^{2}(t^{2})+t^{2}+\sin^{2}(t^{2}).

Passo 3

Como \cos^{2}(t^{2})+\sin^{2}(t^{2})=1, o integrando fica 1+t^{2}. Então
\int_{0}^{2}(1+t^{2})\,dt =\left[t+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =2+\frac{8}{3} =\frac{14}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

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