Sejam as curvas
\gamma_{1} e
\gamma_{2} descritas pelos vetores posição
\overrightarrow{r_{1}} e
\overrightarrow{r_{2}}
\begin{aligned} & \overrightarrow{r_{1}}(t)=t^{2} \vec{i}+t \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \\\ & \overrightarrow{r_{2}}(t)=(t-1) \vec{i}+\frac{1}{4} t^{2} \vec{j}+(5-t) \vec{k} \end{aligned}
onde
t \in \mathbb{R}. Mostre que essas curvas se encontram em um único ponto. Determine o ângulo entre os vetores tangentes dessas curvas nesse ponto.
Resp.: As curvas se encontram no ponto de coordenadas
(1,1,3).
O ângulo entre os vetores tangentes nesse ponto vale
\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{6}{43}}\right) \approx 112^{\circ}.