O volume de um sólido B em \mathbb{R}^{3} é definido por
V(B)=\iiint_{B} d V
Utilize coordenadas esféricas para mostrar que o volume da esfera de raio r é V=\frac{4}{3} \pi r^{3} e coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume de um cilindro de raio r e altura h é V=\pi r^{2} h.

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois volumes em \mathbb{R}^3:
  1. O volume da esfera de raio r usando coordenadas esféricas.
  2. O volume de um cilindro de raio r e altura h usando coordenadas cilíndricas.
    Para isso vamos escrever o diferencial de volume dV em cada sistema de coordenadas e integrar sobre a região apropriada.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, usamos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
e o jacobiano é
dV = \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites são \rho de 0 a r, \varphi de 0 a \pi, \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

O volume da esfera fica
V_{\text{esfera}} = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi}\!\int_{\rho=0}^{r} \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calculando as integrais em ordem conveniente:
  1. Em \rho:
\int_{0}^{r}\rho^{2}\,d\rho = \Bigl[\tfrac{\rho^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{r} = \frac{r^{3}}{3}.
  1. Em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \Bigl[-\cos\varphi\Bigr]_{0}^{\pi} = 2.
  1. Em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo dá
V_{\text{esfera}} = \frac{r^{3}}{3}\times 2\times 2\pi = \frac{4}{3}\,\pi\,r^{3}.

Passo 5

Em coordenadas cilíndricas, usamos
x = \rho\cos\theta,\quad y = \rho\sin\theta,\quad z = z,
com jacobiano
dV = \rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
Os limites são \rho de 0 a r, \theta de 0 a 2\pi, z de 0 a h.

Passo 6

O volume do cilindro fica
V_{\text{cilindro}} = \int_{z=0}^{h}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\rho=0}^{r} \rho\,d\rho\,d\theta\,dz.
Integramos primeiro em \rho:
\int_{0}^{r}\rho\,d\rho = \Bigl[\tfrac{\rho^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{r} = \frac{r^{2}}{2}.
Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
e finalmente em z:
\int_{0}^{h}dz = h.
Logo
V_{\text{cilindro}} = \frac{r^{2}}{2}\times 2\pi\times h = \pi\,r^{2}\,h.

Resposta

O volume da esfera de raio r é
\frac{4}{3}\,\pi\,r^{3},
e o volume do cilindro de raio r e altura h é
\pi\,r^{2}\,h.

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