O volume de um sólido
em
é definido por
Utilize coordenadas esféricas para mostrar que o volume da esfera de raio
é
e coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume de um cilindro de raio
e altura
é
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois volumes em
:
- O volume da esfera de raio
usando coordenadas esféricas. - O volume de um cilindro de raio
e altura usando coordenadas cilíndricas.
Para isso vamos escrever o diferencial de volumeem cada sistema de coordenadas e integrar sobre a região apropriada.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, usamos
e o jacobiano é
Os limites são
de
a
,
de
a
,
de
a
.
Passo 3
O volume da esfera fica
Passo 4
Calculando as integrais em ordem conveniente:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Multiplicando tudo dá
Passo 5
Em coordenadas cilíndricas, usamos
com jacobiano
Os limites são
de
a
,
de
a
,
de
a
.
Passo 6
O volume do cilindro fica
Integramos primeiro em
:
Depois em
:
e finalmente em
:
Logo
Resposta
O volume da esfera de raio
é
e o volume do cilindro de raio
e altura
é