Calcule as integrais definidas.
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{3} x \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}x\,\sin x\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois temos um produto de função de x e sua derivada.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \cos x,
de onde
du = -\,\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.

Passo 3

Precisamos mudar também os limites de integração:
quando x=0, tem-se u=\cos0=1;
quando x=\pi/2, tem-se u=\cos(\pi/2)=0.
Assim,
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}x\,\sin x\,dx =\int_{x=0}^{x=\pi/2}u^{3}\,(-du) =-\int_{1}^{0}u^{3}\,du =\int_{0}^{1}u^{3}\,du.

Passo 4

Agora é só integrar em u:
\int_{0}^{1}u^{3}\,du =\Bigl[\tfrac{u^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4} =\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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