\int_{\pi / 4}^{\pi} \operatorname{sec} ^{2} \theta d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\pi/4}^{\pi} \operatorname{sec}^2 \theta \,d\theta.
O conteúdo é integração de \operatorname{sec}^2\theta, cuja primitiva é \tan\theta. Contudo, como \operatorname{sec}^2\theta=1/\cos^2\theta fica indefinida em \theta=\pi/2 (onde \cos\theta=0), essa integral é imprópria e precisa ser tratada como soma de dois limites.

Passo 2

Separamos a integral em
I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \operatorname{sec}^2 \theta \,d\theta \quad\text{e}\quad J = \int_{\pi/2}^{\pi} \operatorname{sec}^2 \theta \,d\theta,
e avaliamos cada uma como limite ao nos aproximarmos de \pi/2.

Passo 3

Para I escrevemos
I = \lim_{b\to\pi/2^-}\int_{\pi/4}^{b}\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = \lim_{b\to\pi/2^-}\bigl[\tan\theta\bigr]_{\pi/4}^{b} = \lim_{b\to\pi/2^-}\bigl(\tan b - \tan(\pi/4)\bigr).
Como \tan b\to+\infty quando b\to\pi/2^- e \tan(\pi/4)=1, temos I=+\infty.

Passo 4

Para J escrevemos
J = \lim_{a\to\pi/2^+}\int_{a}^{\pi}\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = \lim_{a\to\pi/2^+}\bigl[\tan\theta\bigr]_{a}^{\pi} = \lim_{a\to\pi/2^+}\bigl(\tan\pi - \tan a\bigr).
Sabendo que \tan\pi=0 e \tan a\to-\infty quando a\to\pi/2^+, segue J=+\infty.

Passo 5

Como pelo menos uma das partes diverge para +\infty, a integral imprópria original não converge.

Resposta

A integral diverge (não converge a valor finito).

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