Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral definida.
Passo 2
Observe que aparece
multiplicando uma função de
. Isso sugere a substituição
Agora vamos transformar diferencial e limites:
- Diferenciando, obtemos
. Portanto . - Quando
, . - Quando
, .
Com isso a integral em
transforma-se em uma integral em
:
Passo 3
Para integrar
é útil usar a identidade trigonométrica dupla:
Dessa identidade segue que
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora encontramos a primitiva de
. Lembre que, para uma constante
,
Aplicando com
,
Multiplicando pelo fator
que tínhamos:
Portanto uma primitiva adequada para o integrando em
é
.
Passo 5
Avaliaremos a primitiva entre os limites
e
:
Esse é o valor da integral definida original.