Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{1} e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) \cos \left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} e^{x}\,\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right)\cos\!\left(e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \,e^{x}\,\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right)\cos\!\left(e^{x}\right).
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral definida.

Passo 2

Observe que aparece e^{x} multiplicando uma função de e^{x}. Isso sugere a substituição
u=e^{x}.
Agora vamos transformar diferencial e limites:
  • Diferenciando, obtemos du = e^{x}\,dx. Portanto e^{x}\,dx = du.
  • Quando x=0, u=e^{0}=1.
  • Quando x=1, u=e^{1}=e.
Com isso a integral em x transforma-se em uma integral em u:
\int_{0}^{1} e^{x}\,\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right)\cos\!\left(e^{x}\right)\,dx = \int_{1}^{e} \operatorname{sen}\!(u)\cos\!(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \operatorname{sen}\!(u)\cos\!(u) é útil usar a identidade trigonométrica dupla:
\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u).
Dessa identidade segue que
\sin(u)\cos(u)=\tfrac{1}{2}\sin(2u).
Substituindo na integral:
\int_{1}^{e} \sin(u)\cos(u)\,du = \tfrac{1}{2}\int_{1}^{e} \sin(2u)\,du.

Passo 4

Agora encontramos a primitiva de \sin(2u). Lembre que, para uma constante a,
\int \sin(a u)\,du = -\frac{1}{a}\cos(a u)+C.
Aplicando com a=2,
\int \sin(2u)\,du = -\tfrac{1}{2}\cos(2u)+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que tínhamos:
\tfrac{1}{2}\int \sin(2u)\,du = \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\cos(2u)\right) = -\tfrac{1}{4}\cos(2u).
Portanto uma primitiva adequada para o integrando em u é -\tfrac{1}{4}\cos(2u).

Passo 5

Avaliaremos a primitiva entre os limites u=1 e u=e:
\left[-\tfrac{1}{4}\cos(2u)\right]_{1}^{e} = -\tfrac{1}{4}\cos(2e) -\left(-\tfrac{1}{4}\cos(2)\right) = \tfrac{1}{4}\bigl(\cos(2)-\cos(2e)\bigr).
Esse é o valor da integral definida original.

Resposta

\dfrac{1}{4}\bigl(\cos(2)-\cos(2e)\bigr)

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