Calcule as integrais definidas.
integral-1^1 e^arctg x1+x^2 d x.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral-1^1 e^arctan x1+x^2,dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para integrais envolvendo arctan x, pois sabemos que ddx[arctan x]=11+x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição u=arctan x, temos que du=11+x^2,dx. Assim, o elemento dx se torna dx=(1+x^2),du e a fração 11+x^2,dx se simplifica exatamente para du.
Precisamos também trocar os limites de integração: quando x=-1, u=arctan(-1)=-tfracpi4; quando x=1, u=arctan(1)=tfracpi4.

Passo 3

Com isso, a integral original vira integral-pi/4^pi/4 e^u,du E sabemos da teoria que integral e^u,du=e^u+C.
Agora, basta avaliar nos novos limites: l[e^ur]u=-pi/4^u=pi/4=e^pi/4-e^-pi/4

Resposta

e^pi/4-e^-pi/4

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