A equação
y^prime+p(x) y+q(x) y^2=r(x)
é conhecida como EDO de Ricatti.
(a) Mostre que se y=y1(x) é uma solução da EDO de Ricatti, então a mudança de variável y=y1+z transforma a EDO de Ricatti na seguinte EDO de Bernoulli
z^prime+(p(x)+2 q(x) y1(x)) z=-q(x) z^2
(b) Sabendo que y1(x)=2x é uma solução da EDO de Ricatti y^prime+1x y+y^2=-4x^2, determine as demais soluções.

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido no exercício. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Ricatti na forma:
y' + p(x) y + q(x) y^2 = r(x)
No item (a), precisamos mostrar que, se $ y = y_{1}(x) $ é uma solução dessa EDO, a substituição $ y = y_{1} + z $ transforma a equação em uma EDO de Bernoulli:
y = y1(x)
No item (b), dado que $ y_{1}(x) = \frac{2}{x} $ é uma solução da EDO específica:
y = y1 + z
Precisamos encontrar todas as demais soluções dessa EDO.
Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de variável em EDOs e como resolver a EDO de Bernoulli resultante.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item (a). Queremos mostrar que a substituição $ y = y_{1} + z $ transforma a EDO de Ricatti na EDO de Bernoulli indicada.
Primeiro, substituímos $ y $ por $ y_{1} + z $ na EDO original:
y = y1 + z

Passo 3

Calculamos a derivada de $ y $:
y
Substituindo na equação:
y' = y1' + z'

Passo 4

Expandimos o termo quadrático:
(y1 + z)^2 = y1^2 + 2 y1 z + z^2
Substituindo de volta na equação:
y1' + z' + p(x)y1 + p(x)z + q(x)y1^2 + 2 q(x)y1 z + q(x)z^2 = r(x)

Passo 5

Sabemos que $ y_{1}(x) $ é uma solução da EDO de Ricatti, então ela satisfaz:
y1(x)

Passo 6

Subtraímos a equação de $ y_{1} $ da equação anterior:
y1

Passo 7

Rearranjamos os termos para obter a EDO de Bernoulli:
z' + (p(x) + 2 q(x) y1(x)) z = -q(x) z^2

Passo 8

Agora, vamos para o item (b). Temos a solução particular $ y_{1}(x) = \frac{2}{x} $ da EDO específica:
y1(x) = 2x
Vamos usar a mudança de variável $ y = y_{1} + z $:
y' + 1x y + y^2 = -4x^2

Passo 9

Substituímos na EDO de Ricatti:
(2x + z)' + 1x(2x + z) + (2x + z)^2 = -4x^2
Calculamos a derivada:
ddx(2x) = -2x^2, ddx(z) = z'
Então:
-2x^2 + z' + 2x^2 + zx + 4x^2 + 4 zx + z^2 = -4x^2

Passo 10

Simplificamos os termos:
z' + ( 1x + 2 cdot 1 cdot y1(x) ) z + q(x) z^2 = -q(x) z^2
Com $ p(x) = \frac{1}{x} $, $ q(x) = 1 $, e $ y_{1}(x) = \frac{2}{x} $:
p(x) = 1x
Ou seja:
q(x) = 1

Passo 11

Essa é uma EDO de Bernoulli. Vamos rearranjar:
z' + 5x z + z^2 = 0
Para resolver, fazemos a substituição $ u = \frac{1}{z} $, o que transforma a equação em uma linear.
Calculamos $ u’ = -\frac{z’}{z^{2}} $, então:
u = 1z
Rearranjando:
u' = -z'z^2

Passo 12

Agora, temos uma EDO linear para $ u $:
u
Calculamos o fator integrante $ \mu(x) $:
u' - 5x u = 1
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso simplifica para:
mu(x) = e^integral -5x dx = e^-5 ln x = x^-5

Passo 13

Integrando ambos os lados:
x^-5 u = integral x^-5 dx = -14 x^-4 + C
Então:
u = -14 x + C x^5

Passo 14

Lembrando que $ u = \frac{1}{z} $, temos:
u = 1z
Isolando $ z $:
1z = -14 x + C x^5

Passo 15

Finalmente, voltamos à substituição inicial $ y = y_{1} + z $:
y = y1 + z
Podemos simplificar juntando os termos:
y = 2x + 1C x^5 - 14 x

Resposta

As demais soluções da EDO $ y’ + \frac{1}{x} y + y^{2} = -\frac{4}{x^{2}} $ são dadas por:
y' + 1x y + y^2 = -4x^2
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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