A equação
é conhecida como EDO de Ricatti.
(a) Mostre que se
é uma solução da EDO de Ricatti, então a mudança de variável
transforma a EDO de Ricatti na seguinte EDO de Bernoulli
(b) Sabendo que
é uma solução da EDO de Ricatti
, determine as demais soluções.
(a) Mostre que se
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido no exercício. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Ricatti na forma:
No item (a), precisamos mostrar que, se $ y = y_{1}(x) $ é uma solução dessa EDO, a substituição $ y = y_{1} + z $ transforma a equação em uma EDO de Bernoulli:
No item (b), dado que $ y_{1}(x) = \frac{2}{x} $ é uma solução da EDO específica:
Precisamos encontrar todas as demais soluções dessa EDO.
Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer mudanças de variável em EDOs e como resolver a EDO de Bernoulli resultante.
Passo 2
Vamos começar resolvendo o item (a). Queremos mostrar que a substituição $ y = y_{1} + z $ transforma a EDO de Ricatti na EDO de Bernoulli indicada.
Primeiro, substituímos $ y $ por $ y_{1} + z $ na EDO original:
Passo 3
Calculamos a derivada de $ y $:
Substituindo na equação:
Passo 4
Expandimos o termo quadrático:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Sabemos que $ y_{1}(x) $ é uma solução da EDO de Ricatti, então ela satisfaz:
Passo 6
Subtraímos a equação de $ y_{1} $ da equação anterior:
Passo 7
Rearranjamos os termos para obter a EDO de Bernoulli:
Passo 8
Agora, vamos para o item (b). Temos a solução particular $ y_{1}(x) = \frac{2}{x} $ da EDO específica:
Vamos usar a mudança de variável $ y = y_{1} + z $:
Passo 9
Substituímos na EDO de Ricatti:
Calculamos a derivada:
Então:
Passo 10
Simplificamos os termos:
Com $ p(x) = \frac{1}{x} $, $ q(x) = 1 $, e $ y_{1}(x) = \frac{2}{x} $:
Ou seja:
Passo 11
Essa é uma EDO de Bernoulli. Vamos rearranjar:
Para resolver, fazemos a substituição $ u = \frac{1}{z} $, o que transforma a equação em uma linear.
Calculamos $ u’ = -\frac{z’}{z^{2}} $, então:
Rearranjando:
Passo 12
Agora, temos uma EDO linear para $ u $:
Calculamos o fator integrante $ \mu(x) $:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Passo 13
Integrando ambos os lados:
Então:
Passo 14
Lembrando que $ u = \frac{1}{z} $, temos:
Isolando $ z $:
Passo 15
Finalmente, voltamos à substituição inicial $ y = y_{1} + z $:
Podemos simplificar juntando os termos:
Resposta
As demais soluções da EDO $ y’ + \frac{1}{x} y + y^{2} = -\frac{4}{x^{2}} $ são dadas por:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.