Mostre que as funções
l f1(t)=1 f2(t)=cos t f3(t)=sen t f4(t)=e^t
são linearmente independentes.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que as funções f₁(t)=1, f₂(t)=cos t, f₃(t)=sen t e f₄(t)=eᵗ são linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de funções e vamos precisar usar a definição: se uma combinação linear dessas funções for a função zero para todo t, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero.

Passo 2

Suponha que existam constantes A₁,A₂,A₃,A₄ tais que a combinação linear seja a função zero:
A1cdot 1 ;+ A2cdot cos t ;+ A3cdot sin t ;+ A4cdot e^t =0
para todo t. Pela definição de independência linear, precisamos mostrar que A₁=A₂=A₃=A₄=0.

Passo 3

Como a soma acima é a função zero, todas as suas derivadas também são identicamente zero. Vamos escrever as três primeiras derivadas e depois avaliar em t=0:
(0) original:& A1 + A2cos t + A3sin t + A4e^t=0, (1) 1ª derivada:& -A2sin t + A3cos t + A4e^t=0, (2) 2ª derivada:& -A2cos t - A3sin t + A4e^t=0, (3) 3ª derivada:& A2sin t - A3cos t + A4e^t=0 ªªª
Avaliar cada linha em t=0 gera o sistema:
A1 + A2 + A4 = 0, A3 + A4 = 0, -,A2 + A4 = 0, -,A3 + A4 = 0

Passo 4

Do segundo e quarto equação temos A₃ + A₄=0 e -A₃ + A₄=0, que só se satisfazem com A₃=0 e A₄=0. Da terceira equação vem A₂=A₄=0. Finalmente, da primeira obtenha A₁=0. Como todos os coeficientes são zero, concluímos que f₁,f₂,f₃,f₄ são linearmente independentes.

Resposta

As quatro funções são linearmente independentes pois a única combinação linear identicamente nula tem todos os coeficientes iguais a zero.

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