Mostre que as funções
são linearmente independentes.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que as funções f₁(t)=1, f₂(t)=cos t, f₃(t)=sen t e f₄(t)=eᵗ são linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de funções e vamos precisar usar a definição: se uma combinação linear dessas funções for a função zero para todo t, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Passo 2
Suponha que existam constantes A₁,A₂,A₃,A₄ tais que a combinação linear seja a função zero:
para todo t. Pela definição de independência linear, precisamos mostrar que A₁=A₂=A₃=A₄=0.
Passo 3
Como a soma acima é a função zero, todas as suas derivadas também são identicamente zero. Vamos escrever as três primeiras derivadas e depois avaliar em t=0:
Avaliar cada linha em t=0 gera o sistema:
Passo 4
Do segundo e quarto equação temos A₃ + A₄=0 e -A₃ + A₄=0, que só se satisfazem com A₃=0 e A₄=0. Da terceira equação vem A₂=A₄=0. Finalmente, da primeira obtenha A₁=0. Como todos os coeficientes são zero, concluímos que f₁,f₂,f₃,f₄ são linearmente independentes.
Resposta
As quatro funções são linearmente independentes pois a única combinação linear identicamente nula tem todos os coeficientes iguais a zero.