1. Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas ou não:
    (a) f(x, y)=cx^2 y^2x^4+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0) (b) f(x, y)=cx^3+y^3x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)
    © f(x, y)=cx^2 y^2x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)
    (d) f(x, y)=c3 x y^2-6 yx^2-4 x+4+y^2 se (x, y) neq(2,0) 1 se (x, y)=(2,0)
    (e) f(x, y)=ccx^2+yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 se (x, y)=(0,0)
    (f) f(x, y)=c3 y^4(x+1)^4(y^4+x^2+2 x+1)^3 se (x, y) neq(-1,0) 0 se (x, y)=(-1,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as seis funções definidas por partes são contínuas nos pontos indicados. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e a definição de continuidade em R^2. Vamos usar a ideia de limite por caminhos (ou coordenadas polares) e comparar com o valor dado no ponto crítico.
Uma função f em R^2 é contínua num ponto (x0,y0) se lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0). Para cada item, vamos calcular o limite e ver se coincide com o valor atribuído.

Passo 2

(a) Para f(x,y)=x^2y^2x^4+y^2 se (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0, use coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta. Aí
f(r,theta)=r^4cos^2thetasin^2thetar^4cos^4theta+r^2sin^2theta=r^2cos^2thetasin^2thetar^2cos^4theta+sin^2theta

Passo 3

Ao fazer rto0, o numerador é O(r^2) e o denominador tende a sin^2thetaneq0 (ou em theta=0,pi a fração vale 0). Logo lim=0=f(0,0), portanto contínua.

Passo 4

(b) Para f(x,y)=x^3+y^3x^2+y^2 com valor 0 em (0,0), em polares
f(r,theta)=rl(cos^3theta+sin^3thetar)

Passo 5

Quando rto0, isso tende a 0, igual a f(0,0). Logo é contínua.

Passo 6

© Para f(x,y)=x^2y^2x^2+y^2 com f(0,0)=0, em polares
f(r,theta)=r^2cos^2thetasin^2theta,
que tende a 0. Portanto é contínua.

Passo 7

(d) Temos
f(x,y)=3xy^2-6yx^2-4x+4+y^2=3xy^2-6y(x-2)^2+y^2

Passo 8

para (x,y)neq(2,0) e f(2,0)=1. Se aproximarmos por y=0, xto2, o valor de f tende a 0, ou seja lim=0neq1. Logo é descontínua em (2,0).

Passo 9

(e) Para f(x,y)=x^2+yx^2+y^2 com f(0,0)=1, observe na reta x=0:
f(0,y)=yy^2=1y,

Passo 10

que não tem limite finito quando yto0. Portanto não existe limite e é descontínua em (0,0).

Passo 11

(f) Defina u=x+1, v=y. O ponto (-1,0) vira (0,0) e
f=3u^4v^4(u^2+v^4)^3

Passo 12

Se tomarmos v=0 obtemos f=0, mas se tomarmos v^2=u>0 temos
f=3u^4(u^2)(u^2+u^2)^3=3u^68u^6=38

Passo 13

Como dois caminhos dão limites diferentes, o limite não existe e a função é descontínua em (-1,0).

Resposta

(a), (b) e © são contínuas; (d), (e) e (f) são descontínuas.

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