- Verifique se as funções dadas abaixo são contínuas ou não:
(a)
©
(d)
(a)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as seis funções definidas por partes são contínuas nos pontos indicados. O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e a definição de continuidade em
. Vamos usar a ideia de limite por caminhos (ou coordenadas polares) e comparar com o valor dado no ponto crítico.
Uma função em
é contínua num ponto
se
. Para cada item, vamos calcular o limite e ver se coincide com o valor atribuído.
Uma função
Passo 2
(a) Para
se
e
, use coordenadas polares
,
. Aí
Passo 3
Ao fazer
, o numerador é
e o denominador tende a
(ou em
a fração vale 0). Logo
, portanto contínua.
Passo 4
(b) Para
com valor 0 em
, em polares
Passo 5
Quando
, isso tende a 0, igual a
. Logo é contínua.
Passo 6
© Para
com
, em polares
que tende a 0. Portanto é contínua.
Passo 7
(d) Temos
Passo 8
para
e
. Se aproximarmos por
,
, o valor de
tende a 0, ou seja
. Logo é descontínua em
.
Passo 9
(e) Para
com
, observe na reta
:
Passo 10
que não tem limite finito quando
. Portanto não existe limite e é descontínua em
.
Passo 11
(f) Defina
,
. O ponto
vira
e
Passo 12
Se tomarmos
obtemos
, mas se tomarmos
temos
Passo 13
Como dois caminhos dão limites diferentes, o limite não existe e a função é descontínua em
.
Resposta
(a), (b) e © são contínuas; (d), (e) e (f) são descontínuas.