Calcule as integrais definidas
(a) integral1^2(2 x+1)^4 d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral definida de de até . Isso faz parte do estudo de integrais na Matemática, e pra resolver vamos usar a técnica de substituição, também conhecida como troca de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição pra simplificar a integral. Vamos chamar . Isso significa que precisamos expressar em termos de .

Passo 3

Derivando dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx Rightarrow dx = du2 em relação a , temos:
Então, substituímos por na integral.

Passo 4

Agora, substituímos também os limites de integração. Quando u = 2(1) + 1 = 3 :
u = 2(2) + 1 = 5
E quando :
Portanto, os novos limites para são de 3 a 5.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral1^2 (2x + 1)^4,dx = integral3^5 u^4 cdot du2 = 12 integral3^5 u^4,du
Agora, fica mais fácil calcular a integral de .

Passo 6

Vamos calcular a integral de integral u^4,du = u^55 + C :
12 integral3^5 u^4,du = 12 [ u^55 ]3^5 = 110 [ u^5 ]3^5
Como estamos lidando com uma integral definida, o não é necessário. Então:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de 110 [5^5 - 3^5] = 110 [3125 - 243] = 110 times 2882 = 288.2 :

Resposta

O valor da integral definida é 288,2.

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