Determine o domínio e uma expressão para a inversa de f passando pelo ponto P :
(e) f(x) = x^3 - x, P = (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e encontrar uma expressão para a função inversa de que passa pelo ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, domínio e funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Então, o domínio é:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função inversa de . A função inversa, denotada por , “desfaz” a ação de . Para encontrar , seguimos os seguintes passos:
  1. Substituir por :
  1. Trocar por :
  1. Isolar nessa equação. Isso significa resolver a equação para .
No entanto, resolver uma equação cúbica como essa para não é tão simples e geralmente envolve métodos mais avançados, como a fórmula de Cardano. Para fins práticos, podemos notar que a função não é injetora em todo o seu domínio porque ela não é monótona (ou seja, não é sempre crescente ou sempre decrescente).

Passo 4

Para que uma função tenha uma inversa que seja também uma função, ela precisa ser injetora (cada valor de saída é mapeado por um único valor de entrada). Analisando a derivada de :
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Isso nos mostra que a função é:
  • Crescente para e
  • Decrescente para
Como o ponto está na região onde a função é decrescente, vamos considerar essa parte para encontrar a inversa.

Passo 5

Dentro do intervalo onde a função é decrescente ( ), podemos garantir que a função é injetora e, portanto, possui uma função inversa.
Para encontrar a inversa , resolvemos a equação:
Rearranjando:
Essa é uma equação cúbica que, em geral, tem uma solução única real nesse intervalo. A solução pode ser expressa de forma exata usando a fórmula de Cardano, mas ela é bastante complexa. Para simplificar, podemos expressar a inversa de forma implícita:
éçã

Resposta

O domínio de é todos os números reais, . A função inversa que passa pelo ponto é a solução real da equação no intervalo .

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