Determine o domínio e uma expressão para a inversa de
passando pelo ponto
:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e encontrar uma expressão para a função inversa de
que passa pelo ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, domínio e funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função inversa de
. A função inversa, denotada por
, “desfaz” a ação de
. Para encontrar
, seguimos os seguintes passos:
- Substituir
por :
- Trocar
por :
- Isolar
nessa equação. Isso significa resolver a equação para .
No entanto, resolver uma equação cúbica como essa para
não é tão simples e geralmente envolve métodos mais avançados, como a fórmula de Cardano. Para fins práticos, podemos notar que a função
não é injetora em todo o seu domínio porque ela não é monótona (ou seja, não é sempre crescente ou sempre decrescente).
Passo 4
Para que uma função tenha uma inversa que seja também uma função, ela precisa ser injetora (cada valor de saída é mapeado por um único valor de entrada). Analisando a derivada de
:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Isso nos mostra que a função é:
- Crescente para
e - Decrescente para
Como o ponto
está na região onde a função é decrescente, vamos considerar essa parte para encontrar a inversa.
Passo 5
Dentro do intervalo onde a função é decrescente (
), podemos garantir que a função é injetora e, portanto, possui uma função inversa.
Para encontrar a inversa
, resolvemos a equação:
Rearranjando:
Essa é uma equação cúbica que, em geral, tem uma solução única real nesse intervalo. A solução pode ser expressa de forma exata usando a fórmula de Cardano, mas ela é bastante complexa. Para simplificar, podemos expressar a inversa de forma implícita:
Resposta
O domínio de
é todos os números reais,
. A função inversa
que passa pelo ponto
é a solução real da equação
no intervalo
.