Seja f1(x) = ln(x) e f_n(x) = ln(f_{n-1}(x)), para n > 1.
(b) Determine o domínio de f1, f2, f3, f4, e f5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de funções logarítmicas onde cada função é o logaritmo da função anterior. Nosso objetivo aqui é descobrir o domínio de cada uma dessas funções: e . Para isso, precisamos entender como funciona o domínio de funções logarítmicas e como a composição delas afeta esse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. No caso do logaritmo natural, , o domínio é , porque o logaritmo de zero ou de números negativos não está definido nos números reais.

Passo 3

Vamos começar com a função . Como acabamos de dizer, o domínio dessa função é simplesmente todos os maiores que zero:

Passo 4

Agora, vamos para . Para que esteja definida, o argumento do logaritmo, ou seja, , também precisa ser maior que zero:
Então, o domínio de é:

Passo 5

Seguimos para . Novamente, o argumento do logaritmo precisa ser positivo:
Portanto, o domínio de é:

Passo 6

Vamos para . Aplicando a mesma lógica:
Assim, o domínio de é:

Passo 7

Por fim, para , temos:
Então, o domínio de é:

Resposta

Os domínios das funções são:

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