Dê exemplos de:
Sequência (an) tal que an in(-10,-9), forall n in N e an -9.

Passo 1

O problema pede uma sequência real l(anr) tal que cada termo esteja no intervalo aberto (-10,-9) e que limntoinftyan=-9. O conteúdo aqui é convergência de sequência em análise real, usando a ideia de fazer an=-9 menos um pequeno termo positivo que tende a zero.

Passo 2

Vamos construir um termo positivo bn com bn>0 e bnto0. Por exemplo,
bn = 1n+1
Definimos então
an = -9 - bn = -9 - 1n+1

Passo 3

Verificamos que anin(-10,-9) para todo n. Como bn=tfrac1n+1in(0,1], temos
-10 = -9 - 1 < -9 - 1n+1 < -9 - 0 = -9,
logo -10 < an < -9.

Passo 4

Como bnto0, pela álgebra de limites
limntoinftyan = limntoinftyl(-9 - tfrac1n+1r) = -9 - 0 = -9

Resposta

(a) an = -9 - 1n+1
(b) Outra opção é
an = -9 - 12^,n,
pois tfrac12^n>0, -10<-9-tfrac12^n<-9 e tfrac12^nto0 implica anto-9.

Exercícios relacionados