Calcule as integrais definidas das seguintes funções contínuas por partes.
f(x)=llsin 2 x, & 0 <= x <= pi2 1+cos x, & pi2 <= x <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de f em [0,pi], sendo f contínua por partes com
f(x)= sin 2x, & 0 <= x <= tfracpi2, 1+cos x, & tfracpi2 <= x <= pi
O conteúdo aqui é integração de função definida por partes: basta somar as integrais em cada subintervalo.

Passo 2

Aplicando essa ideia, escrevemos
integral0^pi f(x),dx = integral0^pi2 sin 2x ,dx + integralpi2^pi (1+cos x),dx

Passo 3

Para a primeira integral, usamos a primitiva de sin 2x, que é -tfrac12cos 2x. Assim,
integral0^pi2 sin 2x ,dx = l[-tfrac12cos 2xr]0^pi2 =-tfrac12l(cos pi - cos 0r) =-tfrac12(-1 - 1) =1

Passo 4

Para a segunda integral, separamos em duas:
integralpi2^pi 1,dx = l[xr]pi2^pi =pi - tfracpi2 =tfracpi2,
integralpi2^pi cos x,dx = l[sin xr]pi2^pi =sinpi - sinpi2 =0 - 1 =-1
Somando,
integralpi2^pi(1+cos x),dx = tfracpi2 - 1

Passo 5

Agora somamos os resultados parciais:
integral0^pi f(x),dx = 1 + l(tfracpi2 - 1r) = tfracpi2

Resposta

pi2

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