Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério:
sumk=1^+infty 3k^2+1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumk=1^+infty 3k^2+1
converge ou diverge. O conteúdo é análise de séries numéricas de termos positivos e vamos usar o critério de comparação com p-séries.

Passo 2

Para todo k>=1 vale
k^2+1 >= k^2 Longrightarrow 0 < 3k^2+1 <= 3k^2

Passo 3

Sabemos que a p-série
sumk=1^+infty 1k^p
converge se, e somente se, p>1. Como
sumk=1^+infty 3k^2 =3sumk=1^+infty 1k^2
e 2>1, essa série converge. Portanto, pelo critério da comparação direta, a série dada também converge.

Resposta

A série sumk=1^+infty 3k^2+1 converge pelo critério da comparação direta com a p-série de expoente 2.

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