Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{1}^{2} \frac{d x}{(3-5 x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{dx}{(3-5x)^{2}}
Trata-se de uma função do tipo (ax+b)^{-2}, para a qual a técnica indicada é a substituição linear.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3 - 5x
du = -5\,dx
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dx = -\frac{du}{5}
Atualizamos os limites de integração: quando x=1, u=3-5\cdot1=-2; quando x=2, u=3-5\cdot2=-7.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int_{1}^{2} \frac{dx}{(3-5x)^{2}} = \int_{-2}^{-7} \frac{-\tfrac{1}{5}\,du}{u^{2}} = -\frac{1}{5}\int_{-2}^{-7}u^{-2}\,du
Invertendo os limites para eliminar o sinal negativo,
-\frac{1}{5}\int_{-2}^{-7}u^{-2}\,du = \frac{1}{5}\int_{-7}^{-2}u^{-2}\,du

Passo 4

A primitiva de u^{-2} é
\int u^{-2}\,du = -\,u^{-1}.
Portanto,
\frac{1}{5}\int_{-7}^{-2}u^{-2}\,du = \frac{1}{5}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{-7}^{-2} = \frac{1}{5}\Bigl(-\tfrac{1}{-2} - \bigl(-\tfrac{1}{-7}\bigr)\Bigr)
= \frac{1}{5}\Bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{7}\Bigr) = \frac{1}{5}\cdot\frac{5}{14} = \frac{1}{14}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{14}

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