Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{-2}^{0} \frac{x^{2} d x}{\left(x^{3}-2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{0}\frac{x^{2}\,dx}{\bigl(x^{3}-2\bigr)^{2}}\,.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois a derivada de x^{3}-2 é proporcional a x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{3}-2\,,
então
dt = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,dt\,.
Quando x=-2, t = (-2)^{3}-2 = -10.
Quando x=0, t = 0^{3}-2 = -2.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de t, temos
\int_{-2}^{0}\frac{x^{2}\,dx}{\bigl(x^{3}-2\bigr)^{2}} = \int_{t=-10}^{t=-2}\frac{\tfrac{1}{3}\,dt}{t^{2}} = \frac{1}{3}\int_{-10}^{-2}t^{-2}\,dt\,.

Passo 4

A antiderivada de t^{-2} é -t^{-1}. Logo,
\frac{1}{3}\int t^{-2}\,dt = \frac{1}{3}\bigl(-t^{-1}\bigr) = -\frac{1}{3t}\,.
Denotando F(t) = -\frac{1}{3t}, avaliamos nos limites:

Passo 5

Calculamos
F(-2) = -\frac{1}{3\cdot(-2)} = \frac{1}{6},
F(-10)= -\frac{1}{3\cdot(-10)}= \frac{1}{30}.
A integral vale
F(-2)-F(-10)=\frac{1}{6}-\frac{1}{30}=\frac{5}{30}-\frac{1}{30}=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}\,.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}

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