Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição e, em seguida, aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais definidas.

Passo 2

Para encontrar uma primitiva de \frac{\ln(x)}{x}, fazemos a substituição
u = \ln(x)\quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx.
Assim,
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^2}{2} + C.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando a primitiva \frac{(\ln(x))^2}{2} entre x=1 e x=e:
\int_{1}^{e}\frac{\ln(x)}{x}\,dx = \left.\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^2}{2}\right|_{1}^{e} = \frac{\bigl(\ln(e)\bigr)^2}{2} - \frac{\bigl(\ln(1)\bigr)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

\frac{1}{2}

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