Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{3 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{3x+1}}.
Este é um caso de integração por substituição, pois o denominador é \sqrt{3x+1}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x + 1,
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du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração. Quando x=0, u = 3\cdot0+1 = 1. Quando x=1, u = 3\cdot1+1 = 4. Assim a integral vira
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{3x+1}} = \int_{u=1}^{u=4}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{4}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}.
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\frac{1}{3}\int_{1}^{4}u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\Bigl[2\,u^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{4} = \frac{2}{3}\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{1}\bigr) = \frac{2}{3}(2-1).

Resposta

\frac{2}{3}

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