Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{3} x \sqrt{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}x\sqrt{1+x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, transformando a raiz num polinômio em u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u=1+x\quad\Longrightarrow\quad du=dx,\quad x=u-1.
Quando x=0, u=1; quando x=3, u=4. Assim
\int_{0}^{3}x\sqrt{1+x}\,dx =\int_{1}^{4}(u-1)\,u^{1/2}\,du =\int_{1}^{4}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2},
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo uma primitiva é
F(u)=\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 4

Avaliaremos F(u) de u=1 a u=4:
F(4)=\frac{2}{5}\cdot4^{5/2}-\frac{2}{3}\cdot4^{3/2} =\frac{64}{5}-\frac{16}{3} =\frac{192-80}{15} =\frac{112}{15},
F(1)=\frac{2}{5}-\frac{2}{3} =-\frac{4}{15}.
Portanto
\int_{0}^{3}x\sqrt{1+x}\,dx =F(4)-F(1) =\frac{112}{15}-\Bigl(-\frac{4}{15}\Bigr) =\frac{116}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{116}{15}

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