Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos (x)}{[1+\operatorname{sen}(x)]^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)}{\bigl[1+\operatorname{sen}(x)\bigr]^{5}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos \cos(x)\,dx e uma função de \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(x), \quad du = \cos(x)\,dx.
Assim a integral em x se transforma numa integral em u.

Passo 3

Quando x=0, u=\operatorname{sen}(0)=0.
Quando x=\pi/2, u=\operatorname{sen}(\pi/2)=1.
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\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(x)}{\bigl[1+\operatorname{sen}(x)\bigr]^{5}}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{(1+u)^{5}}\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle\int_{0}^{1}(1+u)^{-5}du, usamos a regra da potência:
\int (1+u)^{-5}du = \frac{(1+u)^{-4}}{-4}.

Passo 5

Agora avaliamos de u=0 a u=1:
\left[\frac{(1+u)^{-4}}{-4}\right]_{0}^{1} = \frac{(1+1)^{-4}}{-4} - \frac{(1+0)^{-4}}{-4} = \frac{2^{-4}}{-4} - \frac{1^{-4}}{-4} = -\frac{1}{64} + \frac{1}{4} = \frac{15}{64}.

Resposta

\frac{15}{64}

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