Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{3}x\,dx.
O conteúdo aqui é o uso de identidades trigonométricas para reduzir a potência e, em seguida, uma substituição simples para integrar.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^{3}x = \cos x\,(1 - \sin^{2}x),
de modo que
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^{3}x\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\bigl(\cos x - \cos x\,\sin^{2}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição \sin x = u, logo du = \cos x\,dx. A integral torna-se
\int\bigl(1 - u^{2}\bigr)\,du = \int 1\,du - \int u^{2}\,du = u - \frac{u^{3}}{3} + C.
Em termos de x, o antiderivado é
\sin x - \frac{\sin^{3}x}{3}.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \pi/6:
\left[\sin x - \frac{\sin^{3}x}{3}\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \Bigl(\sin\!\tfrac{\pi}{6} - \tfrac{\sin^{3}\!(\pi/6)}{3}\Bigr) - (0 - 0).
Como \sin\!\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}, obtemos
\frac12 - \frac{(1/2)^{3}}{3} = \frac12 - \frac{1/8}{3} = \frac12 - \frac{1}{24} = \frac{12}{24} - \frac{1}{24} = \frac{11}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{24}

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