Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{-1}^{1} x^{3}\left(x^{2}+3\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1} x^{3}\bigl(x^{2}+3\bigr)^{10}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de paridade de funções (ímpar/par) para integrais em intervalos simétricos.

Passo 2

Observamos que a função f(x)=x^{3} é ímpar, pois
f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x),
e que g(x)=(x^{2}+3)^{10} é par, pois
g(-x)=\bigl((-x)^{2}+3\bigr)^{10}=(x^{2}+3)^{10}=g(x).
O produto de uma função ímpar por uma função par é uma função ímpar. Logo,
h(x)=x^{3}(x^{2}+3)^{10}
é ímpar, porque
h(-x)=(-x)^{3}\bigl((-x)^{2}+3\bigr)^{10}=-x^{3}(x^{2}+3)^{10}=-h(x).

Passo 3

Como h(x) é ímpar e estamos integrando de -1 a 1, vale a propriedade
\int_{-a}^{a} \text{(função ímpar)}\,dx = 0.çãí
Aqui a=1, portanto
\int_{-1}^{1} x^{3}(x^{2}+3)^{10}\,dx = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados