Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x\left(1-\cos ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,(1-\cos^{2}x)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas e vamos usar a substituição simples para resolver.

Passo 2

Note que 1-\cos^{2}x=\sin^{2}x, então a integral fica
\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,(1-\cos^{2}x)\,dx =\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}x\,dx.

Passo 3

Para integrar \sin^{3}x fazemos a substituição
u=\cos x, \quad du=-\sin x\,dx.
Escrevendo \sin^{3}x=\sin x\,(1-\cos^{2}x), temos
\int \sin^{3}x\,dx =\int \sin x\,(1-u^{2})\,dx =-\int (1-u^{2})\,du.
Integramos em u:
-\int (1-u^{2})\,du =-\Bigl(u - \frac{u^{3}}{3}\Bigr) =-u + \frac{u^{3}}{3}.
Voltando a x:
F(x)=-\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3}.

Passo 4

Agora avaliamos de x=\frac{\pi}{3} até x=\frac{\pi}{2}:
Em x=\frac{\pi}{2}: \cos\frac{\pi}{2}=0 F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Em x=\frac{\pi}{3}: \cos\frac{\pi}{3}=\tfrac12
F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\frac12 + \frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}}{3} =-\frac12 + \frac{1/8}{3} =-\frac12 + \frac{1}{24} =-\frac{12}{24}+\frac{1}{24} =-\frac{11}{24}.
Logo a integral vale
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =0 - \Bigl(-\frac{11}{24}\Bigr) =\frac{11}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{24}

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