Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{3} \frac{y}{\sqrt{y+1}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3} \frac{y}{\sqrt{y+1}}\,dy.
O conteúdo principal aqui é usar substituição para transformar uma função em y numa função mais simples em outra variável.

Passo 2

Faça a substituição
x = y + 1,
logo
y = x - 1, \quad dy = dx.
Quando y=0, x=1. Quando y=3, x=4.

Passo 3

Em função de x, a integral vira
\int_{y=0}^{y=3} \frac{y}{\sqrt{y+1}}\,dy = \int_{x=1}^{x=4} \frac{x-1}{\sqrt{x}}\,dx = \int_{1}^{4} \bigl(x^{1/2} - x^{-1/2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2}, \quad \int x^{-1/2}\,dx = 2\,x^{1/2}.
Logo a primitiva é
F(x) = \frac{2}{3}\,x^{3/2} - 2\,x^{1/2}.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre 1 e 4:
F(4) = \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} - 2\cdot 4^{1/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 - 2\cdot 2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3},
F(1) = \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2} - 2\cdot 1^{1/2} = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}.
Então
\int_{0}^{3} \frac{y}{\sqrt{y+1}}\,dy = F(4) - F(1) = \frac{4}{3} - \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \frac{8}{3}.

Resposta

\frac{8}{3}.

Exercícios relacionados