Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{1 / 2} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
\int_{0}^{1 / 2} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O que se quer: encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Uma observação útil (fórmula fundamental que vamos usar): a derivada da função arco-seno é
Explicando por que isso é verdade (rápido e intuitivo): se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Como
, obtemos a fórmula acima. Isso mostra que uma primitiva de
é
.
Passo 3
Usando a observação do passo anterior, uma primitiva da função integranda é
Ou seja, para a integral definida basta avaliar
nos limites
e
.
Passo 4
Se preferir ver por substituição trigonométrica (é a mesma ideia, só que mais construtiva): faça
. Então
e
(para
no intervalo apropriado). Muda os limites:
-
corresponde a ; -
corresponde a porque .
Assim a integral fica
Passo 5
A integral do passo anterior é simples:
Passo 6
Simplificando
:
Portanto o valor final da integral é
. Dica rápida para a prova: reconhecer a forma
já acende a lâmpada de
, aí é só avaliar nos limites — rapidinho e sem complicação!