Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{1 / 2} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1/2} \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x \mapsto \dfrac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Os limites de integração são x=0 (inferior) e x=\tfrac{1}{2} (superior).
    O que se quer: encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Uma observação útil (fórmula fundamental que vamos usar): a derivada da função arco-seno é
\frac{d}{dx}\big(\arcsin x\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad |x|<1.
Explicando por que isso é verdade (rápido e intuitivo): se \,y=\arcsin x então \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Como \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}, obtemos a fórmula acima. Isso mostra que uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} é \arcsin x.

Passo 3

Usando a observação do passo anterior, uma primitiva da função integranda é
\int \frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = 4\arcsin x + C.
Ou seja, para a integral definida basta avaliar 4\arcsin x nos limites 0 e \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Se preferir ver por substituição trigonométrica (é a mesma ideia, só que mais construtiva): faça x=\sin\theta. Então dx=\cos\theta\,d\theta e \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta (para \theta no intervalo apropriado). Muda os limites:
  • x=0 corresponde a \theta=0;
  • x=\tfrac{1}{2} corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{6} porque \sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{2}.
Assim a integral fica
\int_{0}^{1/2}\frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =4\int_{0}^{\pi/6}\frac{1}{\cos\theta}\cdot\cos\theta\,d\theta =4\int_{0}^{\pi/6}d\theta.

Passo 5

A integral do passo anterior é simples:
4\int_{0}^{\pi/6}d\theta = 4\big[\theta\big]_{0}^{\pi/6}=4\cdot\frac{\pi}{6}= \frac{4\pi}{6}.

Passo 6

Simplificando \dfrac{4\pi}{6}:
\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}.
Portanto o valor final da integral é \dfrac{2\pi}{3}. Dica rápida para a prova: reconhecer a forma 1/\sqrt{1-x^2} já acende a lâmpada de \arcsin, aí é só avaliar nos limites — rapidinho e sem complicação!

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}

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