Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{-4}^{4}|x| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-4}^{4} |x|\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é |x|, a função valor absoluto.
  • Os limites de integração são de -4 até 4.
  • Lembrar que a integral definida representa a área algébrica sob o gráfico da função entre os limites.
Também é útil recordar a definição peça‑por‑peça do valor absoluto (informação sobre a função):
|x| = \begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge 0. \end{cases}]

Passo 2

Como |x| é dada por duas expressões diferentes em (-\infty,0) e [0,\infty), vamos quebrar a integral em duas partes correspondentes aos intervalos onde a expressão é única. Usamos a propriedade de linearidade da integral que permite somar integrais em subintervalos:
\int_{-4}^{4} |x|\,dx = \int_{-4}^{0} |x|\,dx + \int_{0}^{4} |x|\,dx.
Pelo que foi lembrado na definição peça‑por‑peça, em [-4,0] vale |x|=-x e em [0,4] vale |x|=x. Substituindo:
\int_{-4}^{4} |x|\,dx = \int_{-4}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{4} x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos a primeira integral \int_{-4}^{0} (-x)\,dx.
  • Regra: uma primitiva (antiderivada) de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto uma primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}.
    Aqui explicando as variáveis: se F(x) é uma primitiva de f(x), então \dfrac{d}{dx}F(x)=f(x). Para f(x)=-x podemos tomar F(x)=-\dfrac{x^{2}}{2}.
    Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(0)-F(-4). Assim:
\int_{-4}^{0} (-x)\,dx = \left[-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{x=-4}^{x=0} = \left(-\dfrac{0^{2}}{2}\right) - \left(-\dfrac{(-4)^{2}}{2}\right).
Calcule cada termo:
-\dfrac{0^{2}}{2}=0,\qquad -\dfrac{(-4)^{2}}{2} = -\dfrac{16}{2} = -8.
Portanto
\int_{-4}^{0} (-x)\,dx = 0 - (-8) = 8.

Passo 4

Agora calculamos a segunda integral \int_{0}^{4} x\,dx.
  • Regra: uma primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{4} x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{x=0}^{x=4} = \dfrac{4^{2}}{2} - \dfrac{0^{2}}{2}.
Calcule:
\dfrac{4^{2}}{2} = \dfrac{16}{2} = 8,\qquad \dfrac{0^{2}}{2}=0.
Portanto
\int_{0}^{4} x\,dx = 8.

Passo 5

Somando as duas partes obtidas:
\int_{-4}^{4} |x|\,dx = \int_{-4}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{4} x\,dx = 8 + 8 = 16.
Comentário adicional (interpretação geométrica): o gráfico de |x| entre -4 e 4 forma um “V” com dois triângulos congruentes de base 4 à esquerda e 4 à direita (base total 8) e altura 4; a área total é 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 = 16. Isso confirma o resultado.

Resposta

\,16

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