Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{-4}^{4}|x| d x
\int_{-4}^{4}|x| d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
, a função valor absoluto. - Os limites de integração são de
até . - Lembrar que a integral definida representa a área algébrica sob o gráfico da função entre os limites.
Também é útil recordar a definição peça‑por‑peça do valor absoluto (informação sobre a função):
Passo 2
Como
é dada por duas expressões diferentes em
e
, vamos quebrar a integral em duas partes correspondentes aos intervalos onde a expressão é única. Usamos a propriedade de linearidade da integral que permite somar integrais em subintervalos:
Pelo que foi lembrado na definição peça‑por‑peça, em
vale
e em
vale
. Substituindo:
Passo 3
Agora calculamos a primeira integral
.
- Regra: uma primitiva (antiderivada) de
é . Portanto uma primitiva de é .
Aqui explicando as variáveis: seé uma primitiva de , então . Para podemos tomar .
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é. Assim:
Calcule cada termo:
Portanto
Passo 4
Agora calculamos a segunda integral
.
- Regra: uma primitiva de
é . Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule:
Portanto
Passo 5
Somando as duas partes obtidas:
Comentário adicional (interpretação geométrica): o gráfico de
entre
e
forma um “V” com dois triângulos congruentes de base
à esquerda e
à direita (base total
) e altura
; a área total é
. Isso confirma o resultado.