Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{2}^{4} x^{\pi-1} d x
\int_{2}^{4} x^{\pi-1} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
, ou seja, a potência de tem expoente . - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Não há outras restrições;
é a constante pi (aproximadamente ).
Passo 2
Vamos lembrar a regra básica que usamos aqui: a regra da primitiva para potências (regra da antiderivada).
Para qualquer constante ,
Para qualquer constante
onde
é a constante de integração.
Por que isso vale? Porque, se definirmos
então, usando a regra da derivação de potências, obtemos
Então
é uma primitiva de
. Note que a hipótese
evita divisão por zero.
No nosso caso,
. Como
(pois
), a fórmula vale.
Passo 3
Aplicando a regra com
, a primitiva de
é
Aqui:
-
é a variável de integração; -
é a constante (número irracional aproximadamente ); -
é uma função cuja derivada é .
Passo 4
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
, então
No nosso caso,
e
. Então
Passo 5
Calculemos
e
:
Subtraindo,
Como verificação numérica rápida (apenas para checar ordem de grandeza):
e
, então o numerador é positivo e o valor faz sentido.