Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{2}^{4} x^{\pi-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{4} x^{\pi-1}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x^{\pi-1}, ou seja, a potência de x tem expoente \pi-1.
  • Os limites de integração são 2 (inferior) e 4 (superior).
  • Não há outras restrições; \pi é a constante pi (aproximadamente 3,14159\ldots).

Passo 2

Vamos lembrar a regra básica que usamos aqui: a regra da primitiva para potências (regra da antiderivada).
Para qualquer constante \alpha \neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C,
onde C é a constante de integração.
Por que isso vale? Porque, se definirmos
F(x)=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1},
então, usando a regra da derivação de potências, obtemos
F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right)=\frac{\alpha+1}{\alpha+1}\,x^{\alpha}=x^{\alpha}.
Então F é uma primitiva de x^{\alpha}. Note que a hipótese \alpha\neq-1 evita divisão por zero.
No nosso caso, \alpha=\pi-1. Como \pi-1\neq-1 (pois \pi\approx3,14), a fórmula vale.

Passo 3

Aplicando a regra com \alpha=\pi-1, a primitiva de x^{\pi-1} é
F(x)=\frac{x^{(\pi-1)+1}}{(\pi-1)+1}=\frac{x^{\pi}}{\pi}.
Aqui:
  • x é a variável de integração;
  • \pi é a constante (número irracional aproximadamente 3,14159);
  • F(x) é uma função cuja derivada é x^{\pi-1}.

Passo 4

Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso, f(x)=x^{\pi-1} e F(x)=\dfrac{x^{\pi}}{\pi}. Então
\int_{2}^{4} x^{\pi-1}\,dx = F(4)-F(2).

Passo 5

Calculemos F(4) e F(2):
F(4)=\frac{4^{\pi}}{\pi},\qquad F(2)=\frac{2^{\pi}}{\pi}.
Subtraindo,
F(4)-F(2)=\frac{4^{\pi}}{\pi}-\frac{2^{\pi}}{\pi}=\frac{4^{\pi}-2^{\pi}}{\pi}.
Como verificação numérica rápida (apenas para checar ordem de grandeza): 2^{\pi}\approx 8,824 e 4^{\pi}=(2^2)^{\pi}=2^{2\pi}\approx 77,9, então o numerador é positivo e o valor faz sentido.

Resposta

\frac{4^{\pi}-2^{\pi}}{\pi}

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