Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\ln 2} e^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\ln 2} e^{3x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \,e^{3x}\,.
  • Os limites de integração são x=0 (limite inferior) e x=\ln 2 (limite superior).

Passo 2

Lembrete (fórmula que vou usar): para uma constante a\neq0,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C,
onde C é a constante de integração. Explicação rápida do porquê: ao derivar \dfrac{1}{a}e^{a x} em relação a x obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}e^{a x}\right)=\frac{1}{a}\cdot a e^{a x}=e^{a x},
ou seja, a antiderivada está correta. Aqui a é a constante multiplicando x no expoente; neste problema a=3.

Passo 3

Aplicando a regra com a=3, uma antiderivada de e^{3x} é
F(x)=\frac{1}{3}e^{3x}.
(Se alguém preferir ver por substituição: faça u=3x, então du=3\,dx e \int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^{u}du=\frac{1}{3}e^{u}+C=\frac{1}{3}e^{3x}+C.)

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(\ln 2)-F(0). Então calculemos F nos limites.

Passo 5

Calcule F(\ln 2) e F(0):
F(\ln 2)=\frac{1}{3}e^{3\ln 2}.
Usando a propriedade e^{\ln a}=a e e^{3\ln 2}=e^{\ln(2^3)}=2^3, obtemos
F(\ln 2)=\frac{1}{3}\cdot 2^{3}=\frac{8}{3}.
Além disso
F(0)=\frac{1}{3}e^{0}=\frac{1}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\ln 2} e^{3x}\,dx = F(\ln 2)-F(0)=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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