Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{1} \frac{1}{4 t+1} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{4t+1}\,dt.
O conteúdo é integração de uma função da forma 1/(at+b), que resolvemos por substituição linear.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 4t + 1.
Dessa forma, \,du = 4\,dt.

Passo 3

Isolando dt, temos \displaystyle dt = \frac{du}{4}.
Nos limites: quando t=0, u=1; quando t=1, u=5.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{1}{4t+1}\,dt = \int_{1}^{5}\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int_{1}^{5}\frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Sabemos que \displaystyle \int\frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert.
Logo,
\frac{1}{4}\int_{1}^{5}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{4}\bigl[\ln\lvert u\rvert\bigr]_{1}^{5}.

Passo 6

Aplicando os limites:
\frac{1}{4}\bigl(\ln(5)-\ln(1)\bigr) = \frac{1}{4}\ln(5).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln(5)

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