Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{1} x\left(x^{2}+3\right)^{5} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\bigl(x^{2}+3\bigr)^{5}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 3,
logo
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Quando x vai de 0 a 1, temos
u(0)=0^{2}+3=3, \quad u(1)=1^{2}+3=4.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} x\bigl(x^{2}+3\bigr)^{5}dx = \frac{1}{2}\int_{3}^{4}u^{5}du.

Passo 4

Calculando a antiderivada:
\frac{1}{2}\int u^{5}du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{6}}{6} = \frac{u^{6}}{12}.
Avaliando de u=3 a u=4:
\frac{4^{6}-3^{6}}{12} = \frac{4096-729}{12} = \frac{3367}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{3367}{12}

Exercícios relacionados