Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{1}^{2} x\left(x^{2}-1\right)^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{5}\,dx.
O conteúdo envolvido é o método de substituição em integrais, pois temos x multiplicando uma função de x^{2}-1.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2} - 1,
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Quando x=1, u = 1^{2}-1 = 0.
Quando x=2, u = 2^{2}-1 = 3.
Portanto, os limites de u vão de 0 a 3.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int_{1}^{2} x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{5}\,dx = \int_{0}^{3} u^{5} \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{3} u^{5}\,du.
Para integrar, usamos
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6},
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\frac{1}{2}\int_{0}^{3} u^{5}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{u^{6}}{6}\Bigg|_{0}^{3} = \frac{u^{6}}{12}\Bigg|_{0}^{3}.

Passo 5

Avalia-mos em u=3 e u=0:
\frac{3^{6}}{12} - \frac{0^{6}}{12} = \frac{729}{12} = \frac{243}{4}.

Resposta

\frac{243}{4}.

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