Calcule as seguintes integrais.
\int\left(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais simples, e vamos usar a linearidade da integral e as fórmulas básicas
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
e
\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x) + C.

Passo 2

Pela propriedade da linearidade da integral, separamos em duas integrais:
\int\frac{1}{x}\,dx \;-\; 5\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Aplicando as fórmulas conhecidas:
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C_{1}, \qquad \int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x) + C_{2}.
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\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx = \ln\lvert x\rvert \;-\; 5\,\arctan(x) + C,
onde C = C_{1}-5C_{2} é a constante geral de integração.

Resposta

\ln\lvert x\rvert \;-\; 5\,\arctan(x) + C.

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