Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Não há outras informações no enunciado; o resultado esperado é uma antiderivada de
mais uma constante de integração
.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica que simplifica a integral. Partimos da identidade pitagórica
Dividindo ambos os lados por
(válido quando
) obtemos
Isolando
temos a identidade útil
Passo 3
Substituir a identidade na integral e usar linearidade da integral (ou seja,
e
):
Passo 4
Calcular
. Para isso, lembrar (ou verificar) que a derivada de
é
. Verificação rápida usando a regra do quociente para
:
Logo uma primitiva de
é
, ou seja,
Passo 5
Calcular
é direto:
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores:
onde
é a constante de integração geral.
Passo 7
Verificação rápida derivando a resposta:
. Usando
recuperamos o integrando, portanto a primitiva está correta.