Calcule as seguintes integrais.
\int \cot ^{2} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \cot^{2} x \, dx.
Não há outras informações no enunciado; o resultado esperado é uma antiderivada de \cot^{2} x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica que simplifica a integral. Partimos da identidade pitagórica
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Dividindo ambos os lados por \sin^{2}x (válido quando \sin x\neq0) obtemos
1+\cot^{2}x=\csc^{2}x.
Isolando \cot^{2}x temos a identidade útil
\cot^{2}x=\csc^{2}x-1.

Passo 3

Substituir a identidade na integral e usar linearidade da integral (ou seja, \int (f+g)=\int f + \int g e \int a f = a\int f):
\int \cot^{2}x\,dx=\int\bigl(\csc^{2}x-1\bigr)\,dx=\int \csc^{2}x\,dx - \int 1\,dx.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \csc^{2}x\,dx. Para isso, lembrar (ou verificar) que a derivada de \cot x é -\csc^{2}x. Verificação rápida usando a regra do quociente para \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}:
\frac{d}{dx}\cot x=\frac{-\sin x\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^{2}x}=-\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=-\csc^{2}x.
Logo uma primitiva de \csc^{2}x é -\cot x, ou seja,
\int \csc^{2}x\,dx=-\cot x + C_{1}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int 1\,dx é direto:
\int 1\,dx = x + C_{2}.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
\int \cot^{2}x\,dx = \bigl(-\cot x + C_{1}\bigr) - \bigl(x + C_{2}\bigr) = -\cot x - x + C,
onde C=C_{1}-C_{2} é a constante de integração geral.

Passo 7

Verificação rápida derivando a resposta: \dfrac{d}{dx}\bigl(-\cot x - x\bigr)=\csc^{2}x -1. Usando \csc^{2}x-1=\cot^{2}x recuperamos o integrando, portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\cot x - x + C

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