Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{4}(2 x+1)^{-1 / 2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (u-substitution) para integrar uma função do tipo (ax+b)^{n}, usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x + 1
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du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=2\cdot0+1=1.
Quando x=4, u=2\cdot4+1=9.
Assim a integral vira
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{9}u^{-1/2}\,du.

Passo 3

Lembrando que \int u^{p}\,du = u^{p+1}/(p+1) para p\neq -1, aqui p=-\tfrac12. Então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{u^{1/2}}{\tfrac12} = 2\,u^{1/2}.
Multiplicando por \tfrac12, o antiderivado fica simplesmente
u^{1/2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre os limites u=1 e u=9, obtemos
u^{1/2}\Big|_{1}^{9} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2.

Resposta

O valor da integral é 2.

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