Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de \sin(x)\cos(x) no intervalo de \pi/4 até 3\pi/4. Esse tipo de integral trigonométrica pode ser resolvido usando técnica de substituição ou a identidade de ângulo duplo.

Passo 2

A forma mais direta é fazer a substituição u=\sin(x), de modo que du=\cos(x)\,dx. A integral fica
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin(x)\cos(x)\,dx = \int_{u(\pi/4)}^{u(3\pi/4)}u\,du

Passo 3

Agora calculamos os novos limites em u: \sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(3\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
\int_{u(\pi/4)}^{u(3\pi/4)}u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_{u=\frac{\sqrt{2}}{2}}^{u=\frac{\sqrt{2}}{2}}

Passo 4

Como os limites são iguais, o valor da integral é
\left.\frac{u^2}{2}\right|_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^2 = 0

Resposta

0

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