Calcule as integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}(3x)\,dx
Isso envolve produto de x com \operatorname{sen}(3x), então vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = \operatorname{sen}(3x)\,dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{\cos(3x)}{3}.

Passo 3

Pela fórmula de partes,
\int x \operatorname{sen}(3x)\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{x\cos(3x)}{3} + \int \frac{\cos(3x)}{3}\,dx.
Integramos o segundo termo:
\int \frac{\cos(3x)}{3}\,dx = \frac{1}{3}\cdot \frac{\sin(3x)}{3} = \frac{\sin(3x)}{9}.
Logo a primitiva é
-\frac{x\cos(3x)}{3} + \frac{\sin(3x)}{9} + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \pi:
\left[-\frac{x\cos(3x)}{3} + \frac{\sin(3x)}{9}\right]_{0}^{\pi}.
Em x=\pi:
-\frac{\pi\cos(3\pi)}{3} + \frac{\sin(3\pi)}{9} = -\frac{\pi\cdot(-1)}{3} + 0 = \frac{\pi}{3}.
Em x=0:
-\frac{0\cdot\cos(0)}{3} + \frac{\sin(0)}{9} = 0.
Portanto a integral vale
\frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\frac{\pi}{3}

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