Calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t} u(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t}\,u(t)\,dt
onde u(t) é a função degrau unitário. Vamos usar a definição de u(t) para reescrever os limites de integração e depois resolver a integral imprópria resultante.

Passo 2

Pela definição de u(t), temos
u(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\\ 1, & t\ge0. \end{cases}
Assim,
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t}\,u(t)\,dt =\int_{0}^{+\infty} e^{-t}\,dt.

Passo 3

Para calcular a integral imprópria, escrevemos
\int_{0}^{+\infty} e^{-t}\,dt =\lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A} e^{-t}\,dt =\lim_{A\to+\infty}\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{A} =\lim_{A\to+\infty}\bigl(-e^{-A}+1\bigr) =1.

Resposta

1

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