Calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2 t} u(-t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2t}\,u(-t)\,dt.
O conteúdo envolve a propriedade da função de passo unitário e avaliação de integral imprópria.

Passo 2

Lembrando que a função de passo unitário satisfaz
u(-t)= \begin{cases} 1, & t\le0,\\\\ 0, & t>0. \end{cases}
Logo, na integral só contribuem os valores de t tais que t\le0.

Passo 3

Restrito o domínio a t\le0, a integral vira
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2t}\,u(-t)\,dt =\int_{-\infty}^{0} e^{2t}\,dt.

Passo 4

A primitiva de e^{2t} é
\int e^{2t}\,dt =\frac{1}{2}e^{2t}.
Avaliando de -\infty até 0, temos
\lim_{a\to-\infty}\Bigl[\tfrac{1}{2}e^{2t}\Bigr]_{t=a}^{t=0} =\frac{1}{2}e^{0}-\lim_{a\to-\infty}\frac{1}{2}e^{2a} =\frac{1}{2}(1-0) =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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