Calcule as integrais definidas usando o método de integração por partes.
integral0^2 x e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 x e^2x ,dx
usando o método de integração por partes. O conteúdo envolvido é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e vamos precisar escolher apropriadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = e^2x,dx
Então
du = dx, v = integral e^2x,dx = 12e^2x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x e^2x,dx = u,v - integral v,du = xcdot12e^2x - integral 12e^2x,dx
Agora falta calcular
integral 12e^2x,dx = 12cdot12e^2x = 14e^2x

Passo 4

Logo, uma primitiva de x e^2x é
F(x) = 12x e^2x - 14e^2x
Para a integral definida de 0 a 2 temos
integral0^2 x e^2x,dx = F(2) - F(0)

Passo 5

Calculando os valores nos limites:
F(2) = 12cdot2,e^4 - 14e^4 = e^4 - 14e^4 = 34e^4,
F(0) = 12cdot0cdot e^0 - 14e^0 = -14
Portanto
integral0^2 x e^2x,dx = 34e^4 - l(-tfrac14r) = 34e^4 + 14 = 14l(3e^4 + 1r)

Resposta

integral0^2 x e^2x,dx = 14l(3e^4 + 1r)

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